Cuasi-separado si está finamente cubierto por afines de manera apropiada

Question

He estado leyendo los apuntes de Vakil sobre geometría algebraica (por mi cuenta esto no es parte de una clase), y estoy atascado en un problema (el número 6.1.H). Es el siguiente.

Deje que $X$ ser un esquema. Demuestra que $X$ es cuasicompacto y cuasi-separado si y sólo si $X$ pueden ser cubiertos por un número finito de subconjuntos abiertos afines, dos de los cuales tienen intersección también cubierta por un número finito de subconjuntos abiertos afines.

No es difícil mostrar una dirección, a saber, que si $X$ es cuasicompacta y cuasi-separada entonces tiene una cubierta de la forma indicada. Tampoco es difícil probar que si $X$ tiene una cubierta de la forma indicada, entonces $X$ es cuasicompacto. Estoy teniendo dificultades con la parte de "cuasi-separado".

Muchas gracias por cualquier ayuda.

Answer 1

primero tratamos de resolver el caso más fácil:

Supongamos que $X=U_1 \cup U_2$ y sabemos que $U_1$ y $U_2$ son ambos afines y su intersección es la unión de conjuntos abiertos afines finitos como $U_1 \cap U_2 = V_1 \cup V_2 \cup ... \cup V_n$ .

Ahora, supongamos que la especulación es afín a la X. Voy a probar que la especulación $\cap$ U1 es la unión de conjuntos abiertos afines finitos.

para cada punto $p \in specA \cap U_1$ considerar un distinguido conjunto abierto en el interior $specA \cap U_1$ de specA. y para cada $p \in specA-(specA \cap U_1)$ considerar de nuevo un distinguido conjunto abierto de especA en el interior $specA \cap U_2$ . ahora todos estos distinguidos conjuntos abiertos proporcionan una cobertura de specA y como este último es cuasicompacto por lo tanto obtenemos una cobertura de specA por algunos $D(f_1) \cup ... \cup D(f_k)=specA$ donde el $D(f_i)$ son los distinguidos conjuntos abiertos. Ahora bien, si $specA \cap U_1$ está cubierto por esos distinguidos conjuntos abiertos que estaban dentro $specA \cap U_1$ Entonces habremos terminado. De lo contrario, tenemos que algunos de los $D(f_i)$ como por ejemplo $D(f_1)$ es uno de los distinguidos que estaban en $specA \cap U_2$ . bueno en este caso considere las intersecciones $D(f_1) \cap V_j$ que es un subconjunto de $(specA \cap U_2) \cap U_1$ y como $U_2$ es afín y, por lo tanto, cuasi-representado, por lo que $D(f_1) \cap V_j$ es la unión de un conjunto afín abierto y finito (que estará en $specA \cap U_1$ y también observar que como $U_1 \cap U_2 = V_1 \cup V_2 \cup ... \cup V_n$ tenemos $\cup ($ D(f_1) \cap V_j $) = D(f_1) \cap (U_2 \cap U_1) = D(f_1) \cap U_1$ ). Haz lo mismo ahora para cada $D(f_i)$ que encuentras en $specA \cap U_2$ y al final obtendrás una cubierta abierta afín finita de $specA \cap U_1$ .

ahora puedes ver fácilmente que si $specB$ y $specA$ son subconjuntos abiertos afines de X, entonces su intersección es una unión finita de conjuntos abiertos afines (primero intersectamos la especulación A con la U1 y la U2 y aplicamos lo que probamos y hacemos lo mismo para las intersecciones de la especulación B con la U1 y la U2 y usamos el hecho de que la U1 y la U2 están cuasi-seperadas ya que son afines y...).

como soy muy perezoso y no lo escribiré, puedes ver que podemos hacer fácilmente el mismo argumento para el caso general donde X= $U_1 \cup ... \cup U_n$ sólo sigue exactamente el mismo camino. Primero prueba que SpecA $\cap U_i$ es una unión finita de conjuntos abiertos afines y luego hacer el mismo razonamiento en el caso más fácil para probar que $specB$ y $specA$ son subconjuntos abiertos afines de X, entonces su intersección es una unión finita de conjuntos abiertos afines.

Answer 2

Pista: Empezando por tu abierta cobertura afín de $X$ construir una cubierta afín abierta de $X \times X$ y luego mostrar que la preimagen de cada miembro de esa cubierta de afines abierta es una unión de finos afines.

Otro indicio, más directamente pertinente a la definición de Vakil de cuasi-separado: Implícitamente estoy engañando un poco, porque sigo pensando secretamente en cuasi-separados como si el mapa diagonal fuera cuasicompacto. Si hago eso, entonces el ejercicio a mano se traduce en lo siguiente: mostrar que si un morfismo $f$ tiene la propiedad de que el objetivo tiene una cubierta afín abierta, cuya preimpresión de cada miembro es casi compacta, entonces $f$ es cuasicompacto (es decir, cada cuasicompacto en el objetivo tiene una preimagen cuasicompacta).

Por lo tanto, debería recordarse a sí mismo cómo probar este hecho, porque las herramientas utilizadas allí serán las mismas que necesita en su ejercicio actual. (Aunque no trabajes explícitamente con la formulación en términos de morfología diagonal, el argumento subyacente tendrá que ser esencialmente el mismo).

Por ejemplo, primero convéncete a ti mismo de que sólo tienes que comprobar que la intersección de dos afines abiertos cualquiera es cuasi-compacta.

Además, un punto importante en todo este tipo de argumentos: si $f: X \to Y$ con $X$ y $Y$ afín, digamos $X =$ Spec $B$ y $Y =$ Spec $A$ y $a \in A$ para que Spec $A_a$ es una abertura distiguida, entonces la imagen inversa de Spec $A_a$ es un distinguido afín abierto en $X$ (es Spec $B_a$ ). Esta es una herramienta fundamental: es la única manera que tienes para construir arbitrariamente pequeños barrios afines abiertos en $Y$ cuyas preimágenes en $X$ son otra vez afines.

Así que querrá usar la idea del párrafo anterior, pero ahora "imagen inversa" será reemplazada por "intersección". (Cuando tomas imágenes inversas de vecindarios de productos a lo largo del mapa diagonal, estás computando intersecciones, así que este reemplazo tiene sentido; pero de nuevo, no tendrás que pensar en el mapa diagonal explícitamente si no quieres.)

Probablemente sea suficiente por ahora. Si tienes esas ideas en mente y pones todo lo que sabes, con suerte podrás encontrar el camino hacia una prueba completa.