Demostración de la integración de varias piezas.

Question

Necesito ayuda para resolver esta demostracion, agradezco mucho sus sugerencias.

$$\begin{array}{rclr} \int ^{n}_{0}[x] dx= \frac{n(n-1)}{2} \end{array}$$

Pd. Si tienes alguna sugerencia de algún libro que profundice en el tema por favor comunícalo.

Answer 1

Sugerencia : $\lfloor x \rfloor = k$ para $x \in [k,k+1)$ para $k = 0,1,2,\ldots,n-1$ . Por lo tanto $$\int_0^n \lfloor x \rfloor \; dx = \sum_{k=0}^{n-1} \int_{k}^{k+1} \lfloor x \rfloor \; dx = \sum_{k=0}^{n-1} \int_{k}^{k+1} k \; dx,$$ donde el integrando es una constante con respecto a $x$ .

Answer 2

Aviso $n$ sea un número entero, utilizando la propiedad de la integral definida, tenemos $$\int_{0}^{n}[x]dx=\int_{0}^{1}[x]dx+\int_{1}^{2}[x]dx+\int_{2}^{3}[x]dx+\ldots+\int_{n-1}^{n}[x]dx$$ $$=\int_{0}^{1}(0)dx+\int_{1}^{2}1dx+\int_{2}^{3}2dx+\ldots+\int_{n-1}^{n}(n-1)dx$$ $$=0+1+2+3+\ldots+(n-1)$$ $$\implies \int_{0}^{n}[x]dx=1+2+3+\ldots +(n-1)=\frac{n(n-1)}{2}$$

Answer 3

Para cualquier número entero positivo n, $[x]=n$ para $n\le x< n+1$ $$\int_0^n[x]dx=0+1+2+3+4+\ldots +(n-1)=\frac{n(n-1)}{2}$$