Suma de la serie $\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^2+4}$

Question

Evaluar la suma de las siguientes series

$$\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^2+4}$$

Vi un video en youtube donde se resuelve mediante el análisis complejo. ¿Qué otro método puede utilizarse para solucionar esto?

Answer 1

Otra ruta posible es la fórmula de Euler-Maclaurinde (simplificado): $$\sum_{n=1}^nf(n)=\int_1^nf(x)\textrm{d}x+\frac{1}{2}(f(1)+f(n))+\int_1^nH(x)f'(x)\textrm{d}x$ $ donde es diferenciable $f$ y $H(x):=x-\lfloor x\rfloor-\frac{1}{2}$.

En este caso tenemos $f(n):=\frac{1}{n^2+4}$, $f'(n)=\frac{-2n}{(n^2 + 4)^2}$ y $$\int_1^nf(x)\textrm{d}x=\arctan(n/2)/2-\arctan(1/2)/2\textrm{.}$ $

Por lo tanto

$$\sum_{n=1}^nf(n)=\arctan(n/2)/2-\arctan(1/2)/2+\frac{1+5f(n)}{10}+\int_1^n H(x)f'(x)\textrm{d}x $$

$n\rightarrow \infty$

$$\sum_{n=1}^\infty f(n)=\pi/4-\arctan(1/2)/2+1/10+\int_1^\infty H(x)f'(x)\textrm{d}x$$

El siguiente paso es escoger aparte eso último integral con $\int_1^\infty H(x)f'(x)\textrm{d}x=\int_1^2 H(x)f'(x)\textrm{d}x+\int_2^\infty H(x)f'(x)\textrm{d}x=\int_1^2 (x-1-1/2)f'(x)\textrm{d}x+\int_2^\infty H(x)f'(x)\textrm{d}x=\pi/8 - \arctan(2)/2 + 13/80+\int_2^\infty H(x)f'(x)\textrm{d}x$

y así sucesivamente...

Answer 2

Después de preguntar la misma pregunta a mi profesor, consigue de esto:

$$\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^2+4}=$$ $$\frac{1}{8}\left(2\pi coth(2\pi )-1\right)=$$ $$\frac{1}{8}\left(2\pi \left(1+\frac{2}{-1+e^{4\pi}}\right)-1\right)=$$ $$\frac{1}{8}\left(2\pi +\frac{4\pi}{e^{4\pi}-1}-1\right)=$$ $$\frac{1+2\pi +2\pi e^{4\pi}-e^{4\pi}}{8e^{4\pi}-8}$$