Valores propios de la suma de una matriz diagonal y una matriz estocástica

Question

Que $D$ ser una matriz diagonal real $D=\operatorname{diag}(a_1,a_2,\ldots,a_n)$ $a_1\le a_2\le\ldots\le a_n$. Asumir que al menos uno de lo $a_i$ es positivo. Que $P$ ser irreducible, real, fila estocástica matriz (todas las entradas de entre 0 y 1, la suma de los elementos de cada fila es 1), con todos sus valores propios reales. Que $k>0$ ser un número real. Deseo demostrar que $D+kP$ tiene un valor propio positivo. ¿Crees que esto es cierto?

Answer 1

Edit: Sí, es cierto. En realidad, los supuestos en que $P$ es irreductible y la fila-estocástico puede ser eliminado. Todo lo que necesitamos es sólo eso $P$ (entrywise) no negativo.

Desde $P$ es no negativo, por lo que es $D-a_1I+kP$. Por Perron-Frobenius teorema, el radio espectral $\rho(D-a_1I+kP)$ es un autovalor de a $D-a_1I+kP$. Por lo tanto $\lambda=a_1+\rho(D-a_1I+kP)$ es un autovalor real de $D+kP$. Queda por demostrar que $\lambda>0$.

Como $D-a_1I+kP$ es entrywise acotado abajo por la matriz no negativa $D-a_1I$, podemos ver que $(D-a_1I+kP)^m$ es entrywise acotado abajo por $(D-a_1I)^m$ para cada entero positivo $m$. Mediante el uso de Gelfand la fórmula con la norma de Frobenius, se deduce que el $\rho(D-a_1I+kP)\ge\rho(D-a_1I)=a_n-a_1$. Por lo tanto,$\lambda=a_1+\rho(D+kP-a_1I)\ge a_n>0$.