Tengo un anillo local RR con ideal máximo m . Arreglar algunos x∈m Quiero demostrar que mk−1⊂(mk:x) y concluir que R/(mk:x)≅(x)/(x)∩mk para todos k>0 entero.
Para la primera parte, dejemos a1⋅…⋅ak−1∈mk−1 donde cada ai∈m . Entonces está claro que a1⋅…⋅ak−1⋅x∈mk Así que a1⋅…⋅ak−1∈(mk:x) . ¿Es esto correcto?
La segunda parte no sé cómo proceder, es donde más ayuda necesito. Espero que alguien me pueda ayudar en esto. Muchas gracias.