Anillo local y problema de isomorfismo

Question

Tengo un anillo local $R$ con ideal máximo $\mathfrak{m}$ . Arreglar algunos $x\in\mathfrak{m}$ Quiero demostrar que $\mathfrak{m}^{k-1} \subset (\mathfrak{m}^k : x)$ y concluir que $R/(\mathfrak{m}^k : x)\cong (x)/(x)\cap\mathfrak{m}^k$ para todos $k>0$ entero.

Para la primera parte, dejemos $a_1\cdot\ldots\cdot a_{k-1} \in\mathfrak{m}^{k-1}$ donde cada $a_i\in\mathfrak{m}$ . Entonces está claro que $a_1\cdot\ldots\cdot a_{k-1}\cdot x\in\mathfrak{m}^k$ Así que $a_1\cdot\ldots\cdot a_{k-1} \in (\mathfrak{m}^k : x)$ . ¿Es esto correcto?

La segunda parte no sé cómo proceder, es donde más ayuda necesito. Espero que alguien me pueda ayudar en esto. Muchas gracias.

Answer 1

1. Su argumento para $\mathfrak{m}^{k-1} \subset (\mathfrak{m}^k : x)$ es correcto, pero esto se deduce inmediatamente de $\mathfrak m^{k-1}x\subseteq\mathfrak m^k$ .

2. Definir $\varphi:R\to (x)/(x)\cap\mathfrak{m}^k$ por $\varphi(a)=\overline{ax}$ y observe que $\ker\varphi=(\mathfrak{m}^k : x)$ .