Cómo evaluar $\int_{0}^{2\pi}e^{\cos \theta}\cos( \sin \theta) d\theta$?

Question

Para $\alpha \in \mathbb{R}$, definir $\displaystyle I(\alpha):=\int_{0}^{2\pi}e^{\alpha \cos \theta}\cos(\alpha \sin \theta)\; d\theta$. Calcular el $I(0)$. Por lo tanto evaluar $\displaystyle\int_{0}^{2\pi}e^{\cos \theta}\cos( \sin \theta)\; d\theta$.

Sugerencia: Para evaluar la integral que expresa el $\displaystyle\frac{dI}{d\alpha}$, considere la posibilidad de $\displaystyle\frac{\partial}{\partial \theta}(e^{\alpha \cos \theta}\sin(\alpha \sin \theta))$.

¿Cómo puedo hacer esta pregunta? Creo que esto podría tener algo que ver con el Teorema Fundamental del Cálculo, pero no estoy seguro.

Yo calculadas $\displaystyle I(0)=\int_{0}^{2\pi} d\theta=2 \pi$, e $\displaystyle I(1)=\int_{0}^{2\pi}e^{\cos \theta}\cos( \sin \theta) d\theta$. Siguiendo la sugerencia puedo conseguir

$$\begin{align} \frac{\partial}{\partial \theta}(e^{\alpha \cos \theta}\sin(\alpha \sin \theta)) & =\alpha e^{\alpha \cos \theta} \sin (\alpha \sin \theta) + e^{\alpha \cos \theta}\cos(\alpha \sin \theta) \alpha \cos \theta \\ & = \alpha e^{\alpha \cos \theta} \sin (\alpha \sin \theta) + \frac{dI}{d \alpha} \cos \theta. \\ \end{align}$$

Es esto correcto?

Las respuestas en la pregunta se refiere como un duplicado no ayuda. Estoy en un curso de tratar con valores reales, no complejo.

Answer 1

Primero una corrección:

$$\begin{align} \frac{\partial}{\partial \theta}(e^{\alpha \cos \theta}\sin(\alpha \sin \theta)) & =-\alpha \sin \theta \, e^{\alpha \cos \theta} \sin (\alpha \sin \theta) + e^{\alpha \cos \theta}\cos(\alpha \sin \theta) \alpha \cos \theta \\ \end{align}$$

Ahora \begin{align} \frac{dI}{d\alpha}&=\frac{d}{d\alpha}\int_{0}^{2\pi}e^{\alpha \cos \theta}\cos(\alpha \sin \theta) d\theta \\ &=\int_{0}^{2\pi}\frac{d}{d\alpha}(e^{\alpha \cos \theta}\cos(\alpha \sin \theta)) d\theta \\ &=\int_{0}^{2\pi}\cos \theta \, e^{\alpha \cos \theta}\cos(\alpha \sin \theta)- e^{\alpha \cos \theta}\sin(\alpha \sin \theta)\sin \theta \, d\theta \\ &=\int_{0}^{2\pi}\frac{1}{\alpha} \frac{\partial}{\partial \theta}(e^{\alpha \cos \theta}\sin(\alpha \sin \theta)) d\theta \\ &=\frac{1}{\alpha} \Big[e^{\alpha \cos \theta}\sin(\alpha \sin \theta)\Big]_0^{2\pi} \\ &=0 \end{align}

Por lo $I(\alpha)$ es realmente constante.

Por lo $I(1)=I(0)=2\pi$

Así que la respuesta es $2\pi$

Answer 2

Alternativamente, sabemos que $$\Re\left( e^{\Large e^{i\theta}}\right)=e^{\cos\theta}\cos(\sin\theta)$$ Utilizando la serie de Taylor de la función exponencial y la fórmula de Euler tenemos $$e^{\Large e^{i\theta}}=1+(\cos\theta+i\sin\theta)+\frac{(\cos2\theta+i\sin2\theta)}{2!}+\frac{(\cos3\theta+i\sin3\theta)}{3!}+\cdots$$ El uso de $\displaystyle\int_0^{2\pi}\cos(n\theta)\;d\theta=0$ $n$ es un entero y $n\neq0$, obtenemos $$\begin{align}\int_0^{2\pi}e^{\cos\theta}\cos(\sin\theta)\;d\theta&=\int_0^{2\pi}\Re\left( e^{\Large e^{i\theta}}\right)d\theta\\&=\int_0^{2\pi}\left(1 +\cos\theta+\frac{\cos2\theta}{2!}+\frac{\cos3\theta}{3!}+\cdots\right)d\theta\\&=2\pi\end{align}$$

Answer 3

Reescribir $$ \int_0^{\large2\pi} e^{\cos\theta}\cos(\sin\theta)\ d\theta=\Re\left[\int_0^{\large2\pi} e^{\Large e^{i\theta}}d\theta\right]. $$ Vamos $$ I(\alpha)=\int_0^{\large2\pi} e^{\Large\alpha e^{i\theta}}d\theta, $$ entonces $$ \frac{dI}{d\alpha}=I'(\alpha)=\int_0^{\large2\pi} e^{i\theta}e^{\Large\alpha e^{i\theta}}d\theta. $$ Reescribir $$ I'(\alpha)=\frac{1}{i\alpha}\int_0^{\large2\pi} i\alpha e^{i\theta}e^{\Large\alpha e^{i\theta}}d\theta. $$ Deje $x=\alpha e^{i\theta}\;\color{blue}{\Rightarrow}\;dx=i\alpha e^{i\theta}\ d\theta$, luego $$ I'(\alpha)=\frac{1}{i\alpha}\left[e^{\Large\alpha e^{i\theta}}\right]_{\theta=0}^{\large2\pi}=0. $$ Por lo tanto $\Re\left[I'(\alpha)\right]=0$ $I(\alpha)$ es una constante. Tomando $\alpha=0$ rendimientos $I(0)=2\pi$. Por lo tanto $\color{blue}{I(\alpha)=2\pi}$ y, en consecuencia, $$ \int_0^{\large\pi} e^{\cos\theta}\cos(\sin\theta)\ d\theta=\large\color{blue}{2\pi}. $$

Answer 4

He simplificado mi enfoque, ya que es innecesariamente complicado.

---

Como una generalización de Venus' de respuesta , suponga que $f(z)$ tiene una serie de Maclaurin de expansión con coeficientes reales que converge absolutamente en el círculo unidad en el plano complejo. (La expansión será necesariamente converge absolutamente en el círculo unitario si tiene un radio de convergencia mayor que $1$.)

A continuación, $$ \begin{align} \text{Re} \int_{0}^{2 \pi} f(e^{i\theta}) \, d \theta &= \text{Re} \int_{0}^{2 \pi} \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(0)}{n!} e^{in \theta} \, d \theta \\ &= \int_{0}^{2 \pi} \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(0)}{n!} \cos(n \theta) \, d \theta \\ &= \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(0)}{n!} \int_{0}^{2 \pi} \cos (n \theta) \, d \theta \\ &= f(0) \int_{0}^{2 \pi} \, d \theta + \sum_{n=1}^{\infty}\frac{f^{(n)}(0)}{n!} \int_{0}^{2 \pi} \cos (n \theta) \, d \theta \\ &=2 \pi f(0) + \sum_{n=1}^{\infty}\frac{f^{(n)}(0)}{n!} (0) \\ &= 2 \pi f(0). \end{align}$$

Si dejamos $f(z) = e^{z}$ (una función cuya serie de Maclaurin tiene una infinita radio de convergencia), obtenemos $$ \text{Re} \int_{0}^{2 \pi} e^{e^{i \theta}} \, d \theta = \int_{0}^{2 \pi} e^{\cos \theta} \cos (\sin \theta) \, d \theta = 2 \pi (1) = 2 \pi.$$