Mostrando un mapa analítico ha cerrado irreducible de la imagen

Question

Deje $X,Y$ ser complejo variedades algebraicas con $X$ (algebraicamente, por tanto, también analíticamente irreductible), $\pi : Y \to X$ algebraica de mapa con cada fibra de un conjunto finito, y $g:X \to Y$ una analítica mapa tal que $\pi \circ g=id$. A continuación, $g(X)$ es un cerrado analíticamente irreductible subvariedad de la misma dimensión como $Y$.

Parece bastante elemental para ser honesto, pero no puedo averiguar por qué es cierto. ¿Alguien tiene alguna idea?

EDIT: La irreductible parte es fácil, estoy interesado en por qué es cerrado y tiene la misma dimensión como $Y$.

EDIT II: OK, creo que he entendido el cerrado demasiado, no en esta generalidad, pero al menos para los fines que yo quiero. La dimensión de alguna manera parece intuitivamente claro, ya que cada fibra de $\pi$ es un conjunto finito, pero yo todavía me gustaría ver una prueba (o al menos una pista en la dirección correcta).

EDICIÓN III: Damien respuesta no parece funcionar aquí, porque el mapa $g$ es asumido $analytic$, no algebraicas (de hecho, este lema es parte de un intento de mostrar que, en ese contexto, $g$ es de hecho algebraicas, pero no lo sabemos a priori).

EDICIÓN IV: me acabo de dar cuenta que no sé, ¿por qué la imagen de una variedad? Lo siento por tantas preguntas, ahora estoy aprendiendo que cosas.

Answer 1

Por un teorema de Grothendieck, porque $\pi$ es cuasi-finito, existe $\rm Z$, una inmersión abierta $i : \rm X \to Z$ y un morfismo finito $\tilde \pi : \rm Z \to Y$ tal que $\pi = \tilde \pi \circ i$.

Que $\tilde g = i \circ g$. Tenemos $\tilde \pi \circ \tilde g = \rm{Id}_Y$. $\rm{Id}_Y$ Y $\tilde \pi$ son morfismos adecuadas y $\tilde g$ se separa, por lo que es correcto. En particular se cierra $\tilde g(\rm Y)$ $\rm Z$. Pero como se encuentra en $i(\rm X)$, $g(\rm Y)$ está cerrada en $\rm X$.