Estoy en una geometría algebraica clase y me han pedido, para hacer la tarea, para demostrar que ciertos mapas son regulares/racional. No tengo idea de cómo hacerlo. Nos hizo probar que el único regular de las funciones de $\mathbb{P}^n$ son constantes funciones, utilizando el método de la reducción de regular las funciones localmente funciones regulares, pero esa era la medida de la misma. He aquí un ejemplo:
Considerar el Segre incrustación $\varphi \colon \mathbb{P}^1 \times \mathbb{P}^1 \to \mathbb{P}^3$ y deje $Q$ ser su imagen (es decir,$\{xw=yz\}$), deje $p = (1:0:0:0)$, y deje $H = \{x = 0\} = (\mathbb{A}_{(0)}^3)^c$. Definir $\pi_p \colon Q \to H$ como el mapa de proyección de $p$ (es decir, dado un punto en $q \in Q$ se une con una línea a $p$ y definen $\pi_p(q)$ a de ser el punto donde la línea que intersecta $H$). Demostrar que este mapa es racional. Luego de probar algunas otras cosas (las otras cosas son: $\pi_p$ mapas el complemento de las dos líneas de $(a:0:b:0), (a:b:0:0)$ $Q$ isomorphically a una copia de $\mathbb{A}^2$, y encontrar el dominio de $\pi_p$).
¿Cómo acercarse a este problema? Dado que algunos $q = (a:b:c:d)$ $ad=bc$ escribir abajo de la línea de $\overline{pq} = (u + av : bv : cv : dv)$ y ver donde $u + av = 0$? Esto parece muy "torpe", especialmente porque nuestro profesor nos dio una breve conferencia sobre cómo le gustaría ver "más óptima" soluciones en la tarea. ¿Hay una mejor, más teórico manera de hacer esto y, en general, ¿cómo uno va sobre el problema de la prueba de que algún mapa es normal o racional?
Las definiciones que estoy trabajando: Deje $k$ algebraicamente cerrado. Deje $X$ ser una irreductible quasiprojective variedad. Una función de $f \colon X \to k$ es regular en $x \in X$ si $f = \frac{u}{v}$ en un barrio de $x$, e $f$ es regular si es regular en cada una de dichas $x$. Un mapa de $f \colon X \to \mathbb{A}^n$ es regular si cada uno de sus coordinar las funciones es regular. Si $Y$ es otro quasiprojective variedad, a continuación, $f \colon X \to Y$ es regular iff $f \colon X \to \mathbb{A}^n_{(i)}$ es regular iff $f \colon f^{-1}(\mathbb{A}^n_{(i)}) \to \mathbb{A}^n_{(i)}$ es regular, donde $\mathbb{A}^n_{(i)} = \{ (x_0:...:x_n) \mid x_i \neq 0\}$. Considere la posibilidad de pares $(U, f)$ donde $U$ está abierto en $X$ $f$ es una función regular, y definir la equivalencia de la relación de $(U, f) \sim (V,g)$ si $g|_{U \cap V} \equiv f|_{U \cap V}$. Cada par (o una clase de equivalencia) se llama a una función racional y vive en $k(X)$, el campo de función de $X$.
