Demostrar que $\exists c\in(0,1)$ tal que $f(c)=c^2$

Question

Supongamos que una función $f:[0,1] \to \mathbb{ R}$ es continua y $3 \int_0^1 f(x)dx = 1$. Probar que existe $c \in (0,1)$ tal que $f(c) = c^2 $

Answer 1

Tenemos que $f$ es integrable. Deje $$h(x)=\int_{0}^{x} f(t)dt-\frac {x^3}{3}$$.

A continuación, $h$ es continua en a $[0,1]$ y diferenciable en a $(0,1)$ .También se $h(0)=h(1)$. Así que por Rollo es el Teorema tenemos que hay un $c\in (0,1):h'(c)=0$.

Answer 2

Sugerencia $g(x)=\int_{0}^{x}f(t)dt-{x^3\over 3}$, Aplicar Rolles Thm.