Lo ideal es esto?

Question

Deje $k$ ser un campo y $R = k[X]$ todos los polígonos de más de $k$$X$. Elija $p \in R$ y definen $I_p = \{ f \in R : f\circ p(X) \in I \}$ donde $I$ es ideal en $R$.

A continuación, $I_p$ es un subgrupo aditivo como $f, g \in I_p \implies (f - g)(p) = f(p) - g(p) \in I$. Y se absorbe $R$: vamos a $h \in R, \ f \in I_p$,$(hf)\circ p = (h\circ p) (f\circ p) \in I \implies hf \in I_p$. ¿Cuál es el nombre de este ideal?

Vamos a ver si se generaliza a $R = k[x_1, \dots, x_n]$.

Deje $I \subset R$ ser un ideal y $p = \{p_1, \dots, p_n\}$ una colección de polinomios en $R$. A continuación, defina $I_p = \{ f \in R : f(p_1(x), \dots, p_n(x)) \in I \}$.

Deje $f, g \in I_p$. A continuación, $(f - g)(p_1, \dots, p_n) = \dots \in I \implies f - g \in I_p \implies I_p$ es un subgrupo aditivo de $R$. Vamos a ver si se absorbe $R$. Deje $h \in R$. A continuación,$(hf)(p_1(x), \dots, p_n(x)) = h(p_1(x),\dots, p_n(x))f(p_1(x),\dots, p_n(x))$, la derecha factor en $I$ así que todo está en $I \implies hf \in I_p$. Así se generaliza bien a multivariante de polinomios.

Algunos de los ejemplos.

Ex 1. Deje $I = (g), \ p(x) = x$, entonces claramente $I_p = I$ desde $I_p = \{ f \in R : f(x) \in I\} = I$. Esto muestra que el ideal no es siempre trivial.

Answer 1

El ideal de $I$ determina un esquema afín $X \subset \def\A{\mathbb{A}}\A^n$, y el $n$ polinomios determinar un mapa de $p \colon \A^n \to \A^n$. La condición de $f\circ (p_1, \dots, p_n) \in I$ es equivalente a $f \circ p|_X = 0$. Por lo tanto, $I_p$ es el ideal de la clausura de la imagen $p(X)$ (tiene que ser el cierre, ya que un ideal se define un cerrado subscheme, y un polinomio de fuga en un conjunto necesariamente se desvanece en su cierre). O, más precisamente, es ideal para definir el esquema de la teoría de la imagen de $X$ bajo $p$; usted lo desea, puede hacer una búsqueda de las diferentes palabras clave que usted puede no saber.