La intersección de un subgrupo de $H$ y uno de sus conjugados es siempre un subgrupo de índice finito en $H$

Question

$G$ es un grupo en el que cada subgrupo tiene un número finito de los conjugados. Deje $H$ ser un subgrupo de $G$. Entonces tengo que demostrar que la intersección de a $H$ y uno de sus conjugados es siempre un subgrupo de índice finito en $H$.

No tengo ni idea de cómo demostrarlo. Que me ayude Plz. Gracias.

Answer 1

Si $g \in G$ $\langle g \rangle$ tiene un número finito de conjugados en $G$, lo $|G:N_G(\langle g \rangle)|$ es finito. Si $\langle g \rangle$ tiene infinitas para, a continuación, ${\rm Aut}(\langle g \rangle)$ orden $2$, mientras que si tiene orden finito, a continuación, ${\rm Aut}(\langle g \rangle)$ es claramente finito. Así que en cualquier caso ${\rm Aut}(G)$ es finito y, desde $N_G(\langle g \rangle)/C_G(\langle g \rangle)$ es isomorfo a un subgrupo de ${\rm Aut}(G)$, es también finito. Por lo tanto $|G:C_G(g)|$ es finito.

Vamos $H \le G$, $g \in G$ y $I = H \cap H^g$. Es evidente que ningún elemento de $H \setminus I$ centraliza $g$, por lo que el coset representantes de $H$ $I$ encuentran en distintas cosets de $C_G(g)$, lo $|H:I|$ es finito.

Tenga en cuenta que esta prueba sólo se utiliza el hecho de que todas las clases conjugacy de elementos en $G$ son finitos, que es más débil que la suposición de que todas las clases conjugacy de subgrupos finitos.