Desde el punto de vista de la Wightman axiomas, la divisibilidad de la asunción en el espacio de Hilbert puede ser en realidad se deriva de algunos de los otros axiomas si usted adopta una formulación de usar $n$-funciones de punto.
El razonamiento es el siguiente. Una (es decir, escalar) la teoría cuántica de campos en $\mathbb{R}^d$ puede ser considerado como está especificado por una secuencia de $n$-punto de distribuciones $\omega_n\in\mathscr{D}'(\mathbb{R}^{nd})$, $n=1,2,3,\ldots$ la satisfacción de una condición de positividad que será especificado en breve (el otro Wightman axiomas no son relevantes para el propósito de establecer la separación de la "vacío" espacio de Hilbert).
El punto es que esta secuencia de distribuciones puede ser pensado como un funcional lineal $\omega$ sobre el álgebra $\mathfrak{F}=\mathbb{C}\oplus\left(\bigoplus^{\infty}_{n=1}\mathscr{D}(\mathbb{R}^{nd})\right)$ - un elemento $f=(f_0,f_1,f_2,\ldots)\in\mathfrak{F}$ es una secuencia tal que $f_0\in\mathbb{C}$, $f_n\in\mathscr{D}(\mathbb{R}^{nd})$ son cero para todos, pero un número finito de $n\in\{0,1,2,\ldots\}$. Las operaciones algebraicas en $\mathfrak{F}$ se definen de la siguiente manera: si $f,g\in\mathfrak{F}$$\alpha\in\mathbb{C}$, entonces podemos escribir:
- Suma: $f+g=(f_0+g_0,f_1+g_1,f_2+g_2,\ldots)$;
- La multiplicación escalar: $\alpha f=(\alpha f_0,\alpha f_1,\alpha f_2,\ldots)$;
- Producto: $fg=((fg)_0,(fg)_1,(fg)_2,\ldots)$ donde$(fg)_0=f_0g_0$$(fg)_n(x_1,\ldots,x_n)=\sum_{i+j=n}f_i(x_1,\ldots,x_i)g_j(x_{i+1},\ldots,x_n)$;
- Involución: $f^*=(f_0^*,f_1^*,f_2^*,\ldots)$ donde$f_0^*=\overline{f_0}$$f^*_n(x_1,\ldots,x_n)=\overline{f_n(x_n,\ldots,x_1)}$.
El producto es sólo el producto tensor de funciones de prueba, mientras que la involución (una especie de no conmutativa análogo de la compleja conjugación) hace $\mathfrak{F}$ en un unital $*$-álgebra. Esta *-álgebra hereda un (localmente convexo) de la topología de la función de prueba de espacios de $\mathscr{D}(\mathbb{R}^{nd})$ que hace un llamado nuclear *-álgebra. La secuencia de $\omega=(\omega_0,\omega_1,\omega_2,\ldots)$ donde $\omega_0=1$, se convierte en un (continua) lineal funcional en $\mathfrak{F}$ si establecemos $\omega(f)=f_0+\sum_{n=1}^\infty\omega_n(f_n)$ (la suma es siempre finito por nuestra definición de $\mathfrak{F}$ anterior). El *-álgebra $\mathfrak{F}$ es a veces llamado un Borchers-Uhlmann álgebra.
Ahora podemos afirmar nuestra condición de positividad en $\omega$: para todos los $f\in\mathfrak{F}$, debemos tener $\omega(f^*f)\geq 0$. En otras palabras, $\omega$ es un(n algebraica) de estado en el *-álgebra $\mathfrak{F}$.
En este punto, podemos invocar un resultado debido a K. Maurin ("Estructura Matemática de Wightman Formulación de la Teoría Cuántica de campos", Bull. Acad. Polon. Sci. 9 (1963) 115-119), que básicamente nos dice que la nuclearidad de $\mathfrak{F}$ y la continuidad de la $\omega$ implica que el espacio de Hilbert obtenidos por el Wightman(-GNS) la reconstrucción teorema es separable. Observe que la construcción del espacio de Hilbert y el "vacío" vector necesita sólo la positividad para el trabajo. Los otros axiomas (covarianza, la causalidad) se necesitan para obtener la representación unitaria del grupo de Poincaré, el espectro de la condición, y así sucesivamente. Por lo tanto, Maurin del argumento es más fuerte (y más simple) que la encontrada en Streater-Wightman del libro.
El argumento puede extenderse a los campos de cualquier giro, siempre que definir el producto tensor de secciones de prueba de vector de paquetes en la forma apropiada. No sé de un análogo de este argumento para los campos donde el requisito de la positividad no está satisfecho (por ejemplo, los campos electromagnéticos en un covariante de calibre). Sin embargo, para los campos libres de la Wightman reconstrucción teorema es sólo la construcción de la aspiradora Fock espacio de la partícula en el espacio, que siempre se obtiene un espacio de Hilbert separable. En general, uno puede pensar de tales espacios de Hilbert como "sectores", como se argumentó en David de la Barra de Moshe de la respuesta.
Por último, se debe recordar que existen otros espacios de Hilbert que son interesantes para la teoría cuántica de campos y no son separables. Por supuesto, estos no pueden ser obtenidos por el Wightman reconstrucción teorema solo. Un ejemplo es proporcionado por todo coherente estados de un campo libre. Uno puede utilizar Wightman la reconstrucción con una única y coherente del estado, pero con el consiguiente espacio de Hilbert no puede contener todo coherente estados. Estos espacios aparecen también indirectamente en la de Bloch-Nordsieck aproximación en la QED, que se utiliza para tratar problemas de infrarrojos. Son un caso particular de la continua producto tensor de Hilbert espacios mencionados en David de la Barra de Moshe de la respuesta, que también se analizan otros ejemplos de interés.
