Submanifolds de una cara en los 3-Manifolds de Hempel

Question

Al principio del libro de Hempel 3-Manifolds, discute los submanifolds de dos lados: si $N$ es un colector de dimensión $n$ y $M$ es un submanifold de dimensión $(n-1)$ entonces $M$ es bifronte si existe una incrustación de $M\times [1,-1]$ en $N$ con $M\times \{0\}$ el mapa de inclusión.

Luego demuestra que si M es cualquier $(n-1)$ -submanifold de dimensiones de $N$ y el mapa de inclusión $i: M\rightarrow N$ induce el mapa cero en la primera homología ( $i_\ast: H_1(M, \mathbb{Z}_2)\rightarrow H_1(N, \mathbb{Z}_2)$ ), entonces $M$ es de dos caras. La prueba es por contradicción: si $M$ no es de dos lados, entonces no debe desconectar un barrio tubular. Por tanto, hay un bucle (llámese $L$ ) en esta vecindad, que interseca $M$ en un solo punto. Como $L$ es homólogo a $0$ Esto contradice la invariabilidad homológica de los números de intersección (mod 2).

Tengo algunas preguntas sobre esta prueba que no puedo entender:

1. ¿Dónde está el $L$ ¿de dónde viene? Tengo una vaga idea de cómo construirlo, utilizando el hecho de que el barrio tubular de $M$ no es trivial, pero eso no se discute en el libro. No entiendo cómo construir el bucle sólo con la definición de Hempel de dos caras, junto con $M$ sin desconectar a su vecindario. ¿Existe una prueba fácil de que $L$ ¿debe existir?
2. ¿Por qué es $L$ homólogo a $0$ ? ¿Es porque es unidimensional, y $i_\ast$ es cero en $M$ ¿la primera homología?
3. ¿Existe algún recurso que demuestre que los números de intersección son "homológicamente invariantes (mod 2)"? He intentado buscar por ahí, pero no he encontrado nada.

Answer 1

Para construir $L$ , empezar con un camino corto $\alpha$ que atraviesa $M$ transversalmente en un solo punto. La trayectoria es lo suficientemente corta como para que sus dos puntos finales se encuentren en la vecindad tubular dada de $M$ . Desde $M$ no desconecta este vecindario, esos dos puntos finales de $\alpha$ puede unirse a otro camino $\beta$ que se queda en el barrio y se desentiende de $M$ . La concatenación de $\alpha$ y $\beta$ forma el bucle $L$ .

La razón $L$ es homólogo a cero es porque $L$ es homotópico a un bucle en $M$ --- solo proyecto $L$ a $M$ utilizando el mapa de proyección de la vecindad tubular. Dado que $L$ es homólogo a un bucle en $M$ y como el mapa inducido de inclusión $H_1(M) \to H_1(N)$ es el mapa cero, se deduce que $L$ es nulo-homólogo.

Como referencia, puedes buscar un libro básico de topología diferencial, como el de Guilleman y Pollack.

Answer 2

En cuanto a por qué los números de intersección son invariantes de la homología - esto es más fácil de ver en el siguiente caso. Supongamos que considero dos submanifolds $L$ y $L'$ que son homólogas, y esto se evidencia en un mapa $f: C \to N$ donde $C$ es un colector liso y $\partial C = L \sqcup \overline{L'}$ eso es, $C$ es un cobordismo de $L$ a $L'$ . Entonces, perturbando el colector $M$ para que sea transversal a $C$ vemos que $L \cap M$ es coordinativo con $L' \cap M$ este cobordismo realizado por $C \cap M$ . En el caso de que $L$ y $L'$ son unidimensionales, esto es siempre posible.

En términos generales, yo lo expresaría así. En lugar de ser submanifolds homólogos, hay un mapa (digamos suave a trozos) desde un complejo simplicial $C \to N$ cuyo límite (simplicial) es $L \sqcup \overline{L'}$ y tal que $C$ es un colector alejado de un subcomplejo de codimensión 3. (Hatcher esboza muy, muy brevemente esta idea en alguna parte del capítulo 2.) Entonces todavía podemos hacer lo posible por hacer teoría de la transversalidad con esto, y establecerlo de modo que $M$ sólo se cruza con $C$ de este subcomplejo de codimensión 3. Entonces el argumento anterior sigue siendo válido. Sólo que es un poco más difícil intuir lo que sucede aquí.

Answer 3

Para responder a (3), en su caso concreto, el único punto de intersección entre $M$ y $L$ representa el dual de una clase de cohomología no trivial en $N$ (el producto de copa del dual de $M$ con el dual de $L$ ); no es trivial porque sólo hay un punto. Pero si $L$ es homólogo a cero, entonces esta clase debe ser cero, contradicción.