Si $R$ es una propiedad conmutativa de la integral de dominio y también satisface descendente de la cadena de condición en sus ideales, a continuación, cómo se nos muestran que este anillo de $R$ será un campo?
Respuesta
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Si asumimos que el $R$ tiene una unidad de $1_R$ que actúa como un elemento de identidad multiplicativa, es decir, $1_Rs = s1_R = s$ todos los $s \in R$, lo que parece ser la típica de la asunción de acuerdo a este widipedia artículo, entonces se puede argumentar de la siguiente manera:
Para cualquier $0 \ne a \in R$, considere la posibilidad de los principales ideales de la $a^iR = \langle a^i \rangle$. Desde $a^{n + 1}r = a^n(ar)$ cualquier $r \in R$,$a^{n + 1}R \subseteq a^nR$; así pues, tenemos una descendente de la cadena de ideales
$aR \supseteq a^2r \supseteq . . . \supseteq a^nR \supseteq a^{n + 1}R \supseteq . . . , \tag{1}$
que debe estabilizarse desde $R$ es Artinian. Por lo tanto, podemos asumir
$a^{m + 1}R = a^mR \tag{2}$
para algún entero positivo $m$. Entonces a partir de la $a^m = a^m1_R \in a^mR$, no debe existir $s \in R$ con
$a^{m + 1}s = a^m, \tag{3}$
o
$a^m(1_R - as) = 0. \tag{4}$
Mediante la IDENTIFICACIÓN de las propiedades de $R$, esto produce
$as = 1_R, \tag{5}$
desde $a \ne 0 \Rightarrow a^m \ne 0$, de nuevo desde $R$ es una parte integral de dominio. Hemos demostrado que todos los $0 \ne a \in R$ tiene un inverso multiplicativo; por lo tanto, $R$ es un campo. QED
Espero que esto ayude. ¡Hasta la vista,
y como siempre,
Fiat Lux!!!
