$\lim_{n \to \infty}(\frac{a_n}{\sqrt{a_n^2+1}})=\frac{1}{2}$ - demostrar que $a_n$ es una secuencia convergente

Question

Problema: Demostrar que $a_n$ es una secuencia convergente y encontrar un límite de $a_n$ . $$\lim_{n \to \infty}(\frac{a_n}{\sqrt{a_n^2+1}})=\frac{1}{2}$$ Traté de ver esto como un problema de límite normal, así que escribí esto: $$\lim_{n \to \infty}(\frac{a_n}{\sqrt{a_n^2+1}})=\lim_{n \to \infty}(\frac{1}{\sqrt{1+1}})=\frac{1}{2}$$ Pero no he conseguido nada que me ayude a resolver un problema.

Answer 1

Se puede invertir la función $y = {x \over \sqrt{x^2 + 1}}$ de la siguiente manera. $$y^2 = {x^2 \over x^2 + 1} = 1 - {1 \over x^2 + 1}$$ $$1 - y^2 = {1 \over x^2 + 1}$$ $${1 \over 1 - y^2} = x^2 + 1$$ $${1 \over 1 - y^2} - 1 = x^2$$ Así que tenemos $$x^2 = {y^2 \over 1 - y^2}$$ Viendo que $x$ y $y$ deben tener el mismo signo, tenemos $$x = {y \over \sqrt{1 - y^2}}$$ Por lo tanto, si para su secuencia $x_n$ usted escribe $y_n = {x_n \over \sqrt{1 + x^2}}$ entonces tienes $$x_n = {y_n \over \sqrt{1 - y_n^2}}$$ Desde $\lim_{n \rightarrow \infty} y_n = {1 \over 2}$ por la continuidad de ${y \over \sqrt{1 - y^2}}$ tienes $$\lim_{n \rightarrow \infty} x_n = {{1 \over 2} \over \sqrt{1 - {1 \over 4}}}$$ $$= {1 \over \sqrt{3}}$$