He aquí una forma de proceder: en primer lugar, compruebe que ambas partes de la supuesta identidad están de acuerdo para k=1 . Ahora, si realizas la integración por partes en el lado izquierdo, deberías obtener la relación de recursión
βk−1=βk−2+(αw)k−1e−αw(k−1)!
donde
βk−1=∫∞αwzk−1e−z(k−1)!dz=Γ(k,αw)Γ(k)=Q(k,αw)
y Γ(k,u) y Q(k,u) son varias notaciones para el función gamma incompleta (superior) .
El truco ahora es sustituir βk−1 en la relación de recursión con la suma en el lado derecho, y verificar que la recursión sigue siendo válida. Esto, junto con la condición inicial verificada k=1 demuestra tu identidad.
Como una variación de la estrategia de Didier en los comentarios: después de dejar que αw=0 para verificar la ecuación
∫∞0zk−1e−z(k−1)!dz=e0(1+k−1∑x=10xx!)
se puede demostrar que la expresión de la derecha se simplifica a 1 demostrando que
(k−1)!=∫∞0zk−1e−zdz=Γ(k)
puede hacerse verificando que ambos lados de la ecuación coinciden cuando k=1 y estableciendo la recursión (k−1)!=(k−1)(k−2)! mediante la integración por partes.
Diferenciando ambos lados de la identidad original con respecto a u=αw se obtiene la relación
−uk−1e−u(k−1)!=e−u(k−1∑x=1xux−1x!−k−1∑x=0uxx!)
Dejaré la simplificación al lector.