la convergencia de redes vs convergencia de muy largas secuencias de

Question

Es bien sabido que para una función de $f:X\to Y$ entre el subyacente de los conjuntos de espacios topológicos, la condición de que $f$ es continuo es equivalente a la condición de que, dado cualquier neto $N$ $X$ que converge a $x$, el beneficio neto $f(N)$ converge a $f(x)$.

Me gustaría saber si una similar caracterización de la continuidad puede ser obtenido usando más restringido redes. En particular, es cierto que $f$ es continua siempre que, dado cualquier lineal neto $L$ $X$ convergentes a $x$, el beneficio neto $f(L)$ converge a $f(x)$.

También me gustaría saber si algunos de límite superior en el tamaño de la red puede ser colocado (dependiendo de las cardinalidades de $X$ $Y$ o de las cardinalidades de sus topologías). En más detalle, dado $X$$Y$, hay algunos cardenal $\kappa$ tal que $f$ será continua, siempre que dada una red (resp. lineal neto) $N$ de cardinalidad menor que $\kappa$ que converge a $x$, el beneficio neto $f(N)$ converge a $f(x)$.

Answer 1

Lineales de redes por lo general, no es suficiente.

Deje $p$ libre de ultrafilter en $\omega$, y deje $X=\{p\}\cup\omega$. Puntos de $\omega$ son aislados, y $U\subseteq X$ es un nbhd de $p$ fib $p\in U$$U\setminus\{p\}\in p$. Un mapa de $f:X\to X$ es continua iff $f(p)=p$ $f^{-1}[U]\in p$ por cada $U\in p$.

Tenga en cuenta que $p$ no es el límite de cualquier secuencia en la $\omega$, por lo que la única secuencias convergentes en $X$ son los triviales, las que finalmente son constantes. Ahora supongamos que $\nu$ es lineal neto en $\omega$ de innumerables cofinality. Debe haber alguna $n\in\omega$ que aparece cofinally en $\nu$, que no es por lo tanto, finalmente, en el nbhd $X\setminus\{n\}$$p$. Por lo tanto, no lineal neto en $\omega$ converge a $p$, y la única convergente lineales de redes en $X$ son triviales. Ya que cada función se conserva la convergencia de trivial de las redes, pero no todos los bijection $f:X\to X$ preservar $p$ es continuo, lineal redes no son suficientes para caracterizar la continua mapas de$X$$X$.

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En general vamos a $\kappa=\sup\{\chi(x,X)^+:x\in X\}$ donde $\chi(x,X)$ es el personaje de el punto de $x$$X$, es decir, el máximo de $\omega$ y la cardinalidad mínima de una base local en $x$. Entonces cada punto de $X$ tiene una base local de cardinalidad menor que $\kappa$. Supongamos que $f:X\to Y$ no es continua. Entonces hay un $x\in X$ y un nbhd $U$ $f(x)$ $Y$ tal que para cada abierto nbhd $V$ de $x$, $f[V]\nsubseteqq U$. Deje $\mathscr{B}$ ser una base local en $x$ de cardinalidad mínima. $\langle\mathscr{B}\supseteq\rangle$ es dirigido conjunto de cardinalidad menor que $\kappa$. Para cada una de las $B\in\mathscr{B}$ fix $x_B\in B\setminus f^{-1}[U]$; a continuación, $\langle x_B:B\in\mathscr{B}\rangle$ es un netos en $X$ convergentes a $x$ tal que $\langle f(x_B):B\in\mathscr{B}\rangle$ no converge a $f(x)$, lo $f$ no es continua. Por lo tanto, si una función $f:X\to Y$ preserva límites de redes convergentes de cardinalidad menor que $\kappa$, $f$ es continua.