Que existe un ser perverso que supera con creces al rey demonio.

Question

Problema:

Supongamos $f: \mathbb R \to \mathbb R$ es Borel medible. Definir $\mathcal A$ a ser el más pequeño $\sigma$-álgebra que contiene los conjuntos de $\{ x : f(x) > a\}$ por cada $a \in \mathbb R$. Supongamos $g: \mathbb R \to \mathbb R$ es medible con respecto a $\mathcal A$, lo que significa que $\{x : g(x) > a\} \in \mathcal A$ por cada $a \in \mathbb R$. Demostrar que existe un Borel medible función de $h: \mathbb R \to \mathbb R$ tal que $g= h\circ f$.

Lo que he mirado hasta ahora:

Estoy pensando en $h = g\circ f^{-1}$. Esto significaría que tendría que probar que para cualquier Borel medible set$B$,$h^{-1}(B) = f(g^{-1}(B))\in \mathcal B$. Desde $g$ $\mathcal A$medible, $g^{-1}(B) = A\in \mathcal A$. Podemos decir que desde la $f$ es Borel medible, $\{x: f(x) > a\} \in \mathcal B$, e $\mathcal A \subset \mathcal B$? Sin embargo, no estoy seguro de lo que puedo decir acerca de $f(A)$ además de que necesito Borel medible.

Debo enfoque de un modo diferente, o estoy en el camino correcto?

Answer 1

El problema es que $f$ tiene, en general, ningún inversa que significa que la expresión $h = g \circ f^{-1}$ no está bien definida.

Generalmente, la declaración se confirma con un tono monótono clase de argumento:

1. Demostrar la afirmación de si $g$ es de la forma $g=1_A$ donde $A \in \mathcal{B}(\mathbb{R})$ es un conjunto de Borel. Para ello, tenga en cuenta que $A \in \mathcal{A}$ ($g$$\mathcal{A}$medible) y que cualquier conjunto $A \in \mathcal{A}$ admite una representación de la forma $$A = f^{-1}(B)$$ for some Borel set $B$; this follows directly from the definition of the $\sigma$-algebra $\mathcal{A}$: $$\mathcal{A} = \sigma\{\{x; f(x)>a\}; a \in \mathbb{R}\} = \{f^{-1}(B); B \in \mathcal{B}(\mathbb{R})\}.$$
2. Demostrar que el reclamo por una función de paso de $g$.
3. Considere la posibilidad de $g \geq 0$ medibles. Aproximado de $g$ por el paso de las funciones con el fin de deducir que la demanda tiene por $g$.
4. Para arbitrario medibles $g$, escribir $g=g^+-g^-$ donde $g^+$ ($g^-$) indica el positivo (negativo) parte de $g$.

El resultado se conoce como factorización de lema y es de importancia en la teoría de la probabilidad.