Productos semidirectos de Nonabelian de la orden$pq$?

Question

He construido el semidirect producto en Lang, y estoy tratando de atar algunos hechos juntos. A partir de la Ceniza de Álgebra, sé que si $p\lt q$ son distintos de los números primos, si $q\not\equiv 1\pmod{p}$, entonces cualquier grupo $G$ orden $pq$ es abelian.

Es a la inversa, para cualquiera de los números primos $p\lt q$ si $q\equiv 1\pmod{p}$ entonces existe un nonabelian grupo de orden $pq$?

Un ejemplo que he encontrado en internet es que $\mathbb{Z}_3\ltimes \mathbb{Z}_7$ es nonabelian, y aquí $7\equiv 1\pmod{3}$. Yo estaba considerando entonces semidirect productos $\mathbb{Z}_p\ltimes\mathbb{Z}_q$ donde $q\equiv 1\pmod{p}$ y algunos homomorphism $\phi\colon \mathbb{Z}_p\to\operatorname{Aut}(\mathbb{Z}_q)$ calculo que $$ (1,0)(0,1)=(1+0,\phi_0(0)+1)=(1,1) $$ y $$ (0,1)(1,0)=(0+1,\phi_{-1}(1)+0)=(1,\phi_{p-1}(1)). $$ Es cierto que de alguna manera $\phi_{p-1}(1)\neq 1$, en cada caso, para mostrar el grupo es nonabelian? Supongo que si hizo esto implicaría $\phi_{p-1}$ es la trivial automorphism, así que tal vez hay algo allí? Si no, hay una forma de mostrar a $\mathbb{Z}_p\ltimes\mathbb{Z}_q$ es nonabelian en estos casos en general? Gracias.

Answer 1

Voy a usar un par de hechos de la teoría de grupos, que son, sin duda, en Lang. Déjeme saber si puedo borrar nada!

Debe quedar claro que no trivial de la homomorphism $$ \mathbf Z/p\mathbf Z \a \operatorname{Aut}(\mathbf Z/q\mathbf Z) $$ daremos respuesta a su pregunta de forma afirmativa. Usted podría utilizar un mapa para terminar sus cálculos, ya que necesariamente será una inyección y para la clase de $-1$ mapa a un automorphism que no es la identidad, la cual debe moverse $1$.

Recordemos que $\operatorname{Aut}(\mathbf Z/q\mathbf Z)$ es isomorfo a $(\mathbf Z/q\mathbf Z)^*$. Desde $q$ es el primer, el segundo grupo es cíclico; podemos identificar con $\mathbf Z/(q - 1)\mathbf Z$ si elegimos una raíz primitiva de mod $q$. Ahora, para dar un no-trivial homomorphism $\mathbf Z/p\mathbf Z \to \mathbf Z/(q - 1)\mathbf Z$ es para dar un elemento de $\mathbf Z/(q - 1)\mathbf Z$ tener período de $p$. Yo reclamo que usted puede encontrar $p - 1$ de esos elementos si $p$ divide $q - 1$.

En tu ejemplo, $3$ es una raíz primitiva de mod $7$ y podemos enviarle $1 \in \mathbf Z/3\mathbf Z$ a la automorphism de $\mathbf Z/7\mathbf Z$$a \mapsto 9a = 2a$.