¿Existe un pastizal finito de poder completo?

Question

Supongamos que definimos una pastura a ser una estructura algebraica $\langle M, 0, +, \times, \wedge \rangle$ donde

• $\langle M, 0, +, \times \rangle$ es un anillo (no necesariamente conmutativo o unital)
• $\wedge$ distribuye más de $\times$ de la izquierda: $(a \times b) \wedge c = (a \wedge c) \times (b \wedge c)$
• $\wedge$ distribuye $+$ a $\times$ de la derecha: $a \wedge (b + c) = (a \wedge b) \times (a \wedge c)$

La idea es que una pastura es un poco como un campo (que se compone de un anillo con una estructura adicional), sino que va en una dirección diferente (por la adición de la exponenciación en lugar de la división).

Ahora vamos a llamar a $x \in M$ un poder perfecto si $x = y \wedge z$ algunos $y, z \in M$. Por otra parte, digamos que $M$ es energía completa si todos sus elementos son perfectos poderes. Por ejemplo, el trivial de la pastura $\{0\}$ es claramente de energía completa.

Pregunta: Hace un trivial poder completar finito pastos existen?

Me inspiré para hacer esta pregunta después de la ejecución de un equipo de búsqueda para finito de pastos y darse cuenta de que tienden a tener pocos perfecto poderes. De hecho, la mayoría de los pastos he encontrado solo tenía un poder perfecto, a menudo (pero no siempre) $0$. Si mi código es el correcto, me han confirmado que no hay pasto de orden $\le 8$ es energía, y por otra parte que no conmutativa unital de los pastos de la orden de $\le 10$ es energía completa.

Nota: para $2 \le n \le 10$, el número de no-isomorfo conmutativa unital los pastizales de la orden de $n$ está dado por $(2, 2, 10, 2, 4, 2, 36, 10, 4)$. Esta no es una secuencia reconocida por la OEIS.

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Edit: Gracias a un comentario de @user60589, he descubierto un error en mi código que invalida los resultados anteriores. De hecho, hay un montón de ejemplos del poder completar los pastizales de la orden de $\le 10$.

Answer 1

En cualquier anillo$R$ en el que todos los elementos son idempotentes, hay una estructura trivial de pasturas en$R$ definida mediante$$ x^y =x para todos$x,y \in R$. La distributividad izquierda con la multiplicación es trivial y la distributividad correcta con suma es equivalente al hecho de que todos los elementos son idempotentes.

Esta estructura de pastos en$R$ es obviamente completa.

Entonces, por ejemplo, para todos los números naturales,$n$$$ (\mathbb{Z}/ 2\mathbb{Z} )^n es un potrero completo.