$C_c(X)$ está completo, entonces $X$ es compacto

Question

Dejemos que $X$ sea un espacio Hausdorff localmente compacto tal que $C_c(X),$ el espacio de todas las funciones continuas con soporte compacto es completo. Demuestre que $X$ es compacto.

Mi intento:

He demostrado que $C_c(X)$ es denso en $C_0(X),$ el espacio de todas las funciones continuas que desaparecen en el infinito. Dado que $C_c(X)$ es completa, por lo tanto $$C_c(X)=C_0(X).$$

Ahora para concluir que $X$ es compacto, basta con encontrar una función en $C_0(X)$ que no se desvanece en ninguna parte en $X.$ ¿Siempre es posible?

Answer 1

Esto es falso. Tal vez sea cierto bajo suposiciones adicionales: Metrizable, $\sigma$ -compacto, lo que sea? También Apuesto a que no es difícil demostrar que $C_c(X)$ completa sí implica que $X$ es secuencialmente compacto (y/o otras condiciones de "compacidad contable").

Dejemos que $X=\omega_1$ (el conjunto de ordinales contables), con la topología de orden. Entonces $X$ es localmente compacta pero no compacta. Un argumento estándar muestra que $C_c(X)=C_0(X)$ Por lo tanto $C_c(X)$ está completo.

Un argumento estándar: Digamos que $f\in C_0(X)$ . Entonces $\{|f|\ge1/n\}$ es compacta, por lo tanto acotada: Existe $\alpha_n\in\omega_1$ tal que $$|f(x)|<1/n\quad(\alpha_n<x\in\omega_1).$$ Existe $\alpha\in\omega_1$ con $\alpha>\alpha_n$ por cada $n$ . Por lo tanto, $f$ es compatible con $[0,\alpha]$ Así que $f\in C_c(X)$ .

Answer 2

Si $\Omega$ es $\sigma$ -compacto, entonces el espacio es siempre completo cuando está dotado de la topología límite inductiva estricta de los espacios de Fréchet. Hay que especificar qué topología se está considerando en ese espacio.