Una matriz elevada a una gran potencia ( $87$ )

Question

Entonces, tengo esta matriz: $$\pmatrix {0&0&0&-1\\1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0}^{87}$$

Mi profesor nunca habló de los valores propios. Por lo tanto, no sé lo que son y debe haber otra manera de hacerlo (sin multiplicar la matriz $87$ veces).

Gracias por su ayuda.

Answer 1

$A^2 = \pmatrix {0&0&-1&0\\0&0&0&-1\\1&0&0&0\\0&1&0&0}$

Que podríamos escribir en $2\times 2$ bloques como.

$A^2 = \pmatrix {0&-I\\I&0}$

$A^4 = -I\\ A^8 = I$

$A^{87} = A^{80}A^7 = A^7 = A^{-1}$

Answer 2

Tenga en cuenta que su matriz actúa como la permutación $\sigma=(2341)$ es decir $1 \mapsto 2$ , $2 \mapsto 3$ , $3 \mapsto 4$ , $4 \mapsto 1$ de manera que cada vez escupe un signo menos a la cuarta, tercera, segunda y primera columna respectivamente.

La razón es que se puede pensar en una matriz de la siguiente manera:

1. La primera columna de una matriz es donde $e_1$ va.
2. La segunda columna de una matriz es donde $e_2$ va.

Y así sucesivamente.

Mirar el problema de esta manera nos ayuda a calcular directamente cualquier potencia de $A$ fácilmente. De hecho, tenemos la siguiente forma cerrada para $A^n$ :

$$A^n=\pmatrix{(-1)^{\lfloor \frac{n+8}{4} \rfloor} e_{\sigma^n(1)} && (-1)^{\lfloor \frac{n+9}{4} \rfloor}e_{\sigma^n(2)} && (-1)^{\lfloor \frac{n+10}{4} \rfloor}e_{\sigma^n(3)} && (-1)^{\lfloor \frac{n+3}{4} \rfloor}e_{\sigma^n(4)}} $$

Dónde $e_n$ es el $n$ -ésimo vector de base estándar, $\sigma=(2341)$ y $\lfloor \cdot \rfloor$ es la función suelo.

En particular, para $n=87$ obtenemos:

$$A^{87}=\pmatrix{(-1)^{\lfloor \frac{95}{4} \rfloor} e_{\sigma^{87}(1)} && (-1)^{\lfloor \frac{96}{4} \rfloor}e_{\sigma^{87}(2)} && (-1)^{\lfloor \frac{97}{4} \rfloor}e_{\sigma^{87}(3)} && (-1)^{\lfloor \frac{90}{4} \rfloor}e_{\sigma^{87}(4)}} $$

Ahora bien, como $\sigma^4=e$ tenemos $\sigma^{87}=\sigma^{84}\sigma^{3}=(\sigma^{4})^{21}\sigma^{3}=\sigma^3$

Sólo tenemos que calcular: $\sigma^3(1)=4, \sigma^3(2)=1, \sigma^3(3)=2, \sigma^3(4)=3$

Por lo tanto, nuestra respuesta en la forma cerrada es:

$$A^{87}=\pmatrix{- e_{4} && +e_{1} && +e_{2} && +e_{3}} $$

Y podemos ampliarlo para ver que nuestra respuesta final es:

$$A^{87}=\pmatrix{ 0&1&0&0\\ 0&0&1&0\\ 0&0&0&1\\ -1&0&0&0} $$

Answer 3

Es fácil trabajar con esta matriz dispersa, porque sus potencias siguen siendo dispersas. Así que

$$A^2 = \pmatrix{ 0&0&-1&0\\ 0&0&0&-1\\ 1&0&0&0\\ 0&1&0&0} $$ $$A^4 = (A^2)^2 = \pmatrix{ -1&0&0&0\\ 0&-1&0&0\\ 0&0&-1&0\\ 0&0&0&-1} = -I $$ $$A^8 = (-I)^2 = I$$ Así, para los enteros $n$ , $A^{8n} = I$ . Entonces $A^{80} = I$ y $A^{84} = -I$ . Así que $$A^{86} = -A^2 = \pmatrix{ 0&0&1&0\\ 0&0&0&1\\ -1&0&0&0\\ 0&-1&0&0} $$ y $$A^{87} = -A^3 = \pmatrix{ 0&1&0&0\\ 0&0&1&0\\ 0&0&0&1\\ -1&0&0&0} $$