Un producto interior, que no produce una Hilbert norma.

Question

Tengo una simple pregunta:

Considerar el espacio de secuencias $x = (x_1, x_2, \ldots$, $x_i,\ldots) \in \mathbb{R}$, para todos los $i \in \mathbb{N},$ tal que $\sum_{k=1}^{+ \infty} x_k^2 < + \infty,$ con el producto $\langle x,y \rangle = \sum_{k=1}^{+\infty} \frac{x_k y_k}{\sqrt{k}}$. Demostrar que este espacio es Euclidiano, pero no de Hilbert.

$\textbf{Idea for to show it:}$

Para ser Euclidiana es evidente a partir de la suposición de $\sum_{k=1}^{+ \infty} x_{k}^{2} < + \infty$.

Para no ser Hilbert, tenemos que mostrar que la norma inducida por el producto interior no se satisface en la igualdad del paralelogramo

$$\|x + y\|^2 + \|x-y\|^2 = 2(\|x\|^2 + \|y\|^2)$$ Por ejemplo, si suponemos $x=(0, 0, \ldots , 1 , 0 , \ldots , 0)$ 1 $m$ésima componente y $y=(0, 0, \cdots , 1 , 0 , \ldots , 0)$ $1$ $n$th componente para $m <n$, luego tenemos $$\|x\| = \sqrt{\langle x,x \rangle}= \sqrt{\frac{1}{\sqrt{m}}}$$ and $$\|y\| = \sqrt{\langle y,y \rangle}= \sqrt{\frac{1}{\sqrt{n}}}$$ and $$\|x+y\| = \sqrt{\langle x+y,x+y \rangle}= \sqrt{\frac{1}{\sqrt{n}}} + \sqrt{\frac{1}{\sqrt{m}}}$$ and $$\|x-y\| = \sqrt{\langle x-y,x-y \rangle}= \sqrt{\frac{1}{\sqrt{m}}} - \sqrt{\frac{1}{\sqrt{n}}}.$$

Así que vamos a tener $\left(\sqrt{\frac{1}{\sqrt{n}}} + \sqrt{\frac{1}{\sqrt{m}}}\right)^2 + \left(\sqrt{\frac{1}{\sqrt{m}}} - \sqrt{\frac{1}{\sqrt{n}}}\right)^2 = 2\left(\sqrt{\frac{1}{\sqrt{m}}}\right)^2 + 2\left(\sqrt{\frac{1}{\sqrt{n}}}\right)^2 $, lo que nos dará $2\left(\frac{1}{n} + \frac{1}{m}\right) = 2\left(\frac{1}{n} + \frac{1}{m}\right)$.

Así que en este ejemplo no fue nuestro contador de ejemplo y tenemos que encontrar un otro ejemplo que muestra el paralelogramo de la igualdad no se cumple.

Por favor, puedes darme un ejemplo contrario?

Gracias!

Answer 1

Un producto interior siempre va a inducir una norma que satisface la ley del paralelogramo: usted siempre tiene $$ \|x+y\|^2+\|x-y\|^2=\langle x+y,x+y\rangle+\langle x-y,x-y\rangle=\langle x,x\rangle+\langle y,y\rangle=\|x\|^2+\|s\|^2. $$ El punto de la cuestión es que la norma de que su producto induce hace que el espacio no es completa. Así, el ejemplo que usted necesita para encontrar es de una secuencia (de secuencias) en su espacio que es de Cauchy, pero no convergen.

Para encontrar el contraejemplo, tenemos una secuencia que converge a algo que no es en $\ell^2$. Podemos lograr el porque de la raíz cuadrada en el denominador. Así que vamos a pensar de una $x$ que no está en $\ell^2$, pero con tal de que $$ \|x\|^2=\sum_{k=1}^\infty \frac{|x_k|^2}{\sqrt k}<\infty. $$ Por ejemplo $$ x=(k^{-3/4})_k $$ Ahora, considere la secuencia de $\{x_n\}$ espacio donde: $x_n$ es el truncamiento de $x$ a la primera $n$ coordenadas y ceros en otros lugares: $$ x_n=\sum_{k=1}^n k^{-3/4} e_k. $$ Entonces, para $m>n$, $$ \|x_n-x_m\|^2=\sum_{k=n+1}^m\frac{k^{-3/4}}{\sqrt k}=\sum_{k=n+1}^m\frac1{k^2}. $$ Como este es el final de una secuencia convergente, llegamos a la conclusión de que $\{x_n\}$ es de Cauchy. Pero no es $x$ en su espacio con $x=\lim x_n$.