¿Cómo puedo comparar $\sqrt{2}$$\pi^{1/ \pi}$?

Question

¿Cómo puedo comparar $\sqrt{2}$$\pi^{1/ \pi}$?

He aplicado en la calculadora, conseguí $\pi^{1/ \pi}=1.4396194958475907$$\sqrt{2}=1.414213562373095$. Por eso, $\pi^{1/ \pi} > \sqrt{2}$. cómo mostrar analíticamente? Yo podría ampliar la expansión en series de taylor de $\sqrt{1+x}=1+\frac{x}{2}-\frac{1}{8}x^2+...$, Pero ¿qué voy a hacer con $\pi^{1/ \pi}$. Por favor me ayude.

Answer 1

Aquí es un plan de ataque.

Estudio de la función de $f(x)=x^{1/x}$.

• Mostrar que $f'(x)<0$ al $x>e$.
• Compare $f(4)$$f(\pi)$.

Answer 2

Observe que usted puede escribir

$$\sqrt{2}=2^{1/2}=4^{1/4}$$

Así que usted está a solo comparar

$$4^{1/4},\pi^{1/\pi}$$ Pero esa es la misma función. Investigar $$f(x)=x^{1/x}$$ y encontrar dónde es creciente y dónde es decreciente, y su comportamiento en general.

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EDIT: $2$ $\pi$ están en los lados opuestos de un máximo (que es en$e$), por lo que necesita para transformar una de sus valores un poco. @JyrkiLahtonen tiene una brillante idea que $2^{1/2}=4^{1/4}$. Sin eso, yo estaba buscando mucho más complicado de transformaciones que no sirve para nada.

Answer 3

Sólo tenemos que comparar el $2^\pi$$\pi^2$. Es bien sabido que $3<\pi<\frac{22}{7}$, y

$$ 2^\pi < 2^{22/7} \color{red}{<} 3^2 < \pi^2 $$ es una simple consecuencia de $2^{11}=2048 < 2187 = 3^7$.

Answer 4

$$\pi^{1/\pi}>\sqrt 2\iff\pi^{2/\pi}>2\iff\pi^2>2^\pi$$ Así que nuestro objetivo es ahora para ver si $2^\pi$ es mayor o menor que $\pi^2$.

Para que considere la función $$f(x)=\ln\frac{2^x}{x^2}=x\ln 2-2\ln x$$ Su derivada es $$f'(x)=\ln 2-\frac2x$$ que se desvanece en $c=2/\ln 2$.

Pero $$f(c)=2-2\ln\left(\frac2{\ln 2}\right)=2-2\ln2+2\ln\ln 2$$ lo cual es positivo desde $\ln 2<1$.

Desde $\lim_{x\to0}f(x)=\lim_{x\to\infty}f(x)=\infty$, $f$ tiene un mínimo en $c$, lo $f$ es positivo.

Lo que necesitamos es que el $f(\pi)>0$, lo que implica $2^\pi>\pi^2$.