Hace una portada tiene que ser infinito

Question

Me he encontrado con esta pregunta: encontrar una portada para $[1,2]$ $\mathbb{R}$ que no tiene un número finito de subcover.

Desde $[1,2]$ es cerrado y acotado, entonces es compacto. Esto implica entonces que una portada que no tiene un número finito de subcover no debe ser abierto. Yo estaba pensando en $[1,1.5] \cup [1.5,2]$. Sin embargo, no es un infinito de la unión de conjuntos. Puede todavía ser una portada?

Answer 1

Apenas cubierta con un elemento de conjuntos: $\{\{x\}, x\in[1,2]\}$. Este es incontable infinito cubierta y usted no puede omitir uno solo de ellos!

Answer 2

Una tapa no tiene que ser infinito, y el ejemplo que dio es de hecho un número finito de la cubierta. Un cover de un conjunto $S$ es simplemente una colección de $\mathcal{F}$ de los conjuntos tales que para cualquier $x \in S$, hay al menos un $A \in \mathcal{F}$$x \in A$. Puede haber cualquier número de conjuntos en $\mathcal{F}$, y que incluso no necesitan ser disjuntas. Pero hay un par de temas con el ejemplo que dio, y cómo su finita de la cubierta se refiere a ella:

1. Desde la cubierta que usted le dio es finito, no tiene un número finito de subcover: la propia tapa.
2. Lo que quiero hacer es encontrar un determinado infinito cubierta $\mathcal{F}$ de tal manera que no existe un subconjunto finito de $\mathcal{F}$ que es también una cubierta.
3. En la mayoría de los casos (es decir, para mostrar la compacidad) desea $\mathcal{F}$ es una cubierta abierta, es decir, desea que la pone en $\mathcal{F}$ a todo ser abierto.

Answer 3

En realidad es muy simple. Simplemente tome $[1,1.1],[1.9,2]$ a estar en la portada. Ahora lo que queda es $(1.1,1.9)$, que no está cerrado, por lo que no compacto. Por lo tanto, hay una apertura de la tapa no tener un número finito de subcover. Por ejemplo, $(1.1 + \frac 1n, 1.9-\frac 1n)_{n \in \mathbb N}$ haría. Tenga en cuenta que estos son anidados, por lo que la unión de los conjuntos de cualquier finito subcover, es el conjunto más grande de la cobertura, pero ninguno de los conjuntos son iguales a $(1.1,1.9)$, por lo que este cumple con los requisitos.

Por eso, $\mathcal U = \{[1,1.1],[1.9,2],\left(1.1 + \frac 1n,1.9-\frac 1n\right)_{n \in \mathbb N}\}$ funciona como un infinito cubierta no tener finito subcover. Nota no contiene no abrir conjuntos, como se comentó anteriormente.

EDIT : Esta construcción es la de un "contable" de la cubierta no tener un número finito de subcover. Para un buen ejemplo trivial, la otra respuesta que hace bien.