Deje $f,g:\mathbb R\to \mathbb R$ estar aumentando y $f(r)=g(r)$ por cada $r\in\mathbb Q$. Debemos tener $f(x)=g(x)$ por cada $x\in\mathbb R$?
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Respuestas
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No. Tome $$f(x)=x+\chi_{(\pi,+\infty)}(x)\,,\ \ \ g(x)=x+\chi_{[\pi,+\infty)}(x).$$ Aquí $\chi_A$ representa la función de indicador de la set $A$; es decir, $\chi_A$ es la función cuyo valor en $x$ $1$ si $x\in A$, e $0$ lo contrario.
Bungo
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Como el aceptado respuesta muestra, no es necesariamente cierto que las funciones son iguales en todas partes. Sin embargo, podemos mostrar que el conjunto de puntos donde están no es igual contables. (Esto implica, y de hecho es más fuerte que, la declaración de que $f$ $g$ son iguales en casi todas partes.)
En primer lugar, tenga en cuenta que si $x \in \mathbb R$ y el tanto $f$ $g$ son continuas en a $x$, entonces podemos tomar cualquier secuencia $\{r_n\}$ de los racionales convergentes a $x$, y tenemos $$\lim_{n \to \infty}f(r_n) = f\left(\lim_{n \to \infty}r_n\right) = f(x)$$ donde la primera igualdad se mantiene debido a $r_n \to x$ $f$ es continua en a $x$. Del mismo modo, $$\lim_{n \to \infty}g(r_n) = g(x)$$ Desde $f(r_n) = g(r_n)$ por cada $n$, esto significa que $f(x) = g(x)$. Así, las funciones son iguales en cualquier punto donde son continuas.
Además, sabemos que $f$ $g$ son monótonas funciones. Esto significa que cada función debe ser continua en todas partes, excepto posiblemente en una contables conjunto. Para una prueba, ver aquí, por ejemplo. Deje $D_f$ $D_g$ respectivamente denotar los conjuntos donde $f$ $g$ son discontinuos. Estos conjuntos son numerables. Tenga en cuenta que $D_f \cup D_g$ es todavía contables (la unión de dos contable de conjuntos contables), y $f$ $g$ son continuos (por lo tanto, en igualdad de condiciones en todas partes en el complemento de $D_f \cup D_g$.
