¿Cómo resolver esta ecuación logaritmo?

Question

¿Cómo puedo solucionarlo?
$$ \frac{2}{\log_{8}(x-1)} - \frac{2}{\log_{8}(x )} =1$$

No tengo idea de cómo solucionarlo y voy a ser feliz para ayuda sobre este ejercicio.

Answer 1

Este problema no tiene una forma cerrada de la solución.

Combinar las fracciones: $$ \frac{2\log_8 x - 2\log_8 (x-1)}{\log_8 x \log_8 (x-1)} =1 \\ \log_8 x - \log_8 (x-1) = \frac12 \log_8 x \log_8 (x-1) $$ A continuación, utilice las propiedades de los logaritmos: $$ \log_8\left( \frac{x}{x-1} \right) = \log_8 \sqrt{ (x-1)^{\log_8 x }} $$ Ahora elevar $8$ a ambos lados de esta ecuación y la plaza de los dos lados: $$ \frac{x^2}{(x-1)^2} = (x-1)^{\log_8 x}$$ Manejar el denominador de la izquierda mediante la adición a la exponente de la derecha: $$x^2 = (x-1)^{2+\log_8 x}$$

Esto tiene una única verdadera solución positiva en aproximadamente el $x = 3.7093175$, pero no hay ninguna solución en forma cerrada utilizando sólo funciones elementales.

Answer 2

Uno puede cambiar la ecuación mediante el uso de:\begin{align} \log_{b}(x) &= \frac{\log_{d}(x)}{\log_{d}(b)} \\ x &\to t + \frac{1}{2} \end{align} para obtener %#% $ #% la solución para $$\frac{1}{\ln\left(t - \frac{1}{2}\right)} - \frac{1}{\ln\left(t + \frac{1}{2}\right)} = \frac{1}{6 \, \ln(2)}.$ $t$% y rendimientos $t \approx 3.20931751$.