Escribir
$$f(x) = (1-x)^m (1+x)^n = \sum_{j=0}^{n+m} c_j x^j
$$
Observe que (aplicar el índice de re-numeración)
$$ x^{n+m} f(1/x) = (-1)^m (1-x)^m (1+x)^n = \sum_{j=0}^{n+m} c_j x^{n+m-j} = \sum_{j=0}^{n+m} c_{n+m-j} x^{j}
$$
Por lo tanto $c_{n+m-j} = (-1)^m c_j$.
Se discute el efecto de dos días consecutivos de cero de los coeficientes. Pongamos un superior índice (m,n) en la función y los coeficientes para indicar que m y n fueron tomadas. Para $m=n$,
$$f^{n,n}(x) = (1-x)^n (1+x)^n = (1-x^2)^n = \sum_{i=0}^n \binom{n}{i} (-1)^i x^{2}
$$
Por lo tanto, tenemos cero los coeficientes de $c_j$ por extraño $j$ y los coeficientes con la alternancia de signo para, incluso,$j$.
Veamos ahora el caso en que $m>n$, luego
$$f^{m,n}(x) = (1-x)^m (1+x)^n = (1-x^2)^n (1-x)^{m n} = \sum_{j=1}^m c^{m,n}_j x^{j}
$$
Para$m-n=1$,$c^{m=n+1,n}_j = c^{n,n}_j - c^{n,n}_{j-1}$, por lo que, con el comportamiento descrito de $c^{n,n}_j $, nunca puede ser cero $c^{m=n+1,n}_j$.
Permítanos generalizar esta recursividad para arbitrario $m>n$. La idea es ir hacia atrás para bajar el $m$, llegando a $m=n$ donde uno se puede comparar con el conocido coeficiente de estructura (ver arriba).
Supongamos $c^{m,n}_{k+1} = c^{m,n}_{k} =0$. Entonces debemos tener, con algunas constantes arbitrarias $a_i$,
$$
c^{m-1,n}_{k-1} = c^{m-1,n}_{k} = c^{m-1,n}_{k+1} = a_1\\
c^{m-2,n}_{k-2} = a_2 ; c^{m-2,n}_{k-1} = a_2+ a_1 ; c^{m-2,n}_{k} a_2 + 2 a_1; c^{m-2,n}_{k+1} = a_2 + 3 a_1 \\
c^{m-3,n}_{k-3} = a_3 ; c^{m-3,n}_{k-2} = a_3 + a_2 ; c^{m-3,n}_{k-1} = a_3 + 2 a_2+ a_1 ;\\
c^{m-3,n}_{k} = a_3 + 3 a_2 + (1+2) a_1; c^{m-3,n}_{k+1} = a_3 + 4 a_2 + (1+2+3) a_1$$
De continuar con este proceso para $s$ pasos, tenemos que $c^{m-s,n}_{k}$ es un polinomio de grado $s-1$$k$, es decir, $c^{m-s,n}_{k} = \sum_{q=0}^{s-1} d_q k^q$ $s$ libres de muchos constantes $d_q$. Este polinomio tiene para adaptarse a $s+2$ muchos los coeficientes de $c^{m-s,n}_{k-s},\dots , c^{m-s,n}_{k+1}$.
Ahora vamos a $s = m-n$, por lo tanto $m=n$. Entonces tenemos (véase más arriba) de que estos coeficientes están en la hilera de cero, positiva ($\binom{n}{k}$), cero, negativo (-$\binom{n}{k+2}$), etc. Un polinomio de ajuste $s+2$ estos puntos deben tener grado $s+1$ en general, a menos especial simetrías son graciosos. Esto es cierto en dos casos: a) para las pequeñas $m,n$, desde entonces los binomios mismos están bajo la orden de los polinomios en $k$. Sin embargo, en estos casos se puede comprobar manualmente que no contienen cero consecutivos coeficientes; b) para la central de plazo $\binom{m+n}{(m+n)/2}$ solamente, ya que los coeficientes a la izquierda y a la derecha de este término (anti-)simétrica, ver arriba. Otro de los casos, el ajuste no es posible, ya que el polinomio en $k$ es sólo de grado $s-1$. Esto muestra que dos consecutivos cero los coeficientes en cualquier $m > n$ no aparecerá.
El caso de $m < n$ funciona de forma análoga, lo que completa la prueba.
