¿Es un espacio vectorial lineal un espacio vectorial?

Question

En la primera página del libro clásico "Ecuaciones diferenciales ordinarias" de Jack Hale (edición revisada, 1980) aparece la siguiente definición:

Un espacio vectorial lineal abstracto (o espacio lineal ) $\mathcal{X}$ en $\mathbb{R}$ es una colección de elementos $\{x,y,\ldots\}$ tal que para cada $x,y \in \mathcal{X}$ la suma $x+y$ se define, $x+y \in \mathcal{X}$ , $x+y=y+x$ y hay un elemento $0 \in \mathcal{X}$ tal que $x+0=x$ para todos $x \in \mathcal{X}$ . Además, para cualquier número $a,b \in\mathbb{R}$ , multiplicación escalar $ax$ se define, $ax \in \mathcal{X}$ y $1 \cdot x = x$ , $(ab)x=a(bx)=b(ax)$ , $(a+b)x=ax+bx$ para todos $x,y \in \mathcal{X}$ .

La terminología lineal espacio vectorial es lo mismo que el espacio vectorial (es decir, sin el adjetivo lineal )? Lo pregunto porque aquí falta un axioma clásico de los espacios vectoriales: dado un $x \in \mathcal{X}$ hay un elemento $z \in \mathcal{X}$ tal que $x+z=0$ donde el elemento $0$ se definió anteriormente.

Mejora de la pregunta con respecto a la definición de espacio vectorial parece que también faltan más axiomas, concretamente la asociatividad bajo $+$ y la distributividad escalar como $a(x+y) = ax + ay$ . Esto fue mencionado por más de un comentario/post de los contribuyentes.

¿Por qué?

Answer 1

Aquí es un contraejemplo. Considere la posibilidad de $\mathcal{X}=\{0,1\}$, con la adición definida por $x+y=\max(x,y)$ y la multiplicación escalar definido por $ax=x$ todos los $a\in\mathbb{R}$$x\in\mathcal{X}$. Este cumple con todos Hale del axiomas, sino $1$ no tiene inverso aditivo.

Aquí un poco menos trivial ejemplo. Consideremos el conjunto a $\mathcal{X}=\mathbb{R}\cup\{z\}$, con la adición y la multiplicación escalar definida como de costumbre para los elementos de $\mathbb{R}$, $x+z=z+x=x$ para todos los $x\in\mathcal{X}$, e $az=z$ todos los $a\in\mathbb{R}$. Esto satisface el dado de axiomas, con $z$ como el elemento cero. Sin embargo, ningún elemento distinto de $z$ tiene un inverso aditivo.

(En realidad, cualquier ejemplo sin inversos aditivos contiene una copia de la primera contraejemplo. Si $\mathcal{X}$ satisface Hale del axiomas y $x\in\mathcal{X}$ no tiene inverso aditivo, a continuación, $\{0,0\cdot x\}\subseteq \mathcal{X}$ será cerrado bajo la suma y la multiplicación escalar y isomorfo al primer ejemplo, el envío de $0\cdot x$$1$. Debemos tener $0\cdot x\neq 0$ desde $x+(-1)\cdot x=0\cdot x$ $x$ tendría un inverso aditivo si $0\cdot x=0$.)

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Nota, sin embargo, que los inversos aditivos no son el único axioma que falta. La asociatividad de $+$ $a(x+y)=ax+ay$ faltan también! He aquí un ejemplo que ha inversos aditivos, pero que no la asociatividad. Deje $\mathcal{X}=\mathbb{R}\times\{0,1\}\setminus\{(0,1)\}$. Podemos definir la suma de $(x,i)+(y,j)=(x+y,\max(i,j))$ y la multiplicación escalar por $a(x,i)=(ax,i)$, excepto que si la operación da una salida de $(0,1)$, cambiamos a $(0,0)$ lugar (así, por ejemplo, $0(x,1)=(0,0)$ cualquier $x$). Esto satisface Hale del axiomas, y ha inversos aditivos ($(-x,i)$ es la inversa de a $(x,i)$). Sin embargo, no es la asociatividad, ya que $$((x,0)+(-x,0))+(x,1)=(0,0)+(x,1)=(x,1)$$ whereas $$(x,0)+((-x,0)+(x,1))=(x,0)+(0,0)=(x,0)$$ for any $x\neq 0$.

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El autor casi seguro que no tiene la intención de dar una definición diferente de la habitual, aunque-esto es un error en el libro. Definitivamente no estándar a utilizar el término "lineal del espacio vectorial" para referirse a esta más débil definición.

Answer 2

En efecto, a la definición le falta algo para un espacio vectorial, pero sospecho que no es intencional. "Espacio lineal" es un sinónimo común de "espacio vectorial", probablemente porque se trata de funciones lineales que respetan la estructura de un espacio vectorial.

Para ver que las condiciones no son suficientes, considere $\mathcal X = \mathbb R\times \mathbb N$ con la adición $(a,m)+(b,n) = (a+b,\max\{m,n\})$ y la multiplicación $a(b,n)=(ab,n)$ .