Recientemente me pidieron por un alumno si existe un espacio topológico que no es compacto, pero en el cual cada subconjunto abierto apropiado es compacto. No he podido dar un ejemplo, o una prueba de que tal espacio no existe. Hasta ahora el mejor que he podido ver es que este espacio no puede contener un subconjunto compacto cerrado (en particular, no puede ser T1).
Respuesta
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Considerar $\Bbb N$, con adecuada abierta establece que $U_n = \{x: x\le n\}$ y el conjunto vacío. Las uniones arbitrarias de $U_n$ están abiertas, (ya sea dada por $U_{m}$ el máximo de $n$ o $\Bbb N$ si $n$ es ilimitada), como también las intersecciones finitas.
Aquí cada conjunto abierto apropiado es finito y por lo tanto trivial compacta. Sin embargo, es fácil ver que $\Bbb N$ sí mismo no es compacto, con esta topología, ya que está cubierta por la colección de todos los subconjuntos abiertos correctamente, que no admite ningún subcover finito.
