¿Cuál es el valor de $m+n$??

Question

Supongamos que hay $5$ puntos rojos y $4$ azul puntos en un círculo . Deje $\frac{m}{n}$ la probabilidad de que un polígono convexo cuyos vértices se encuentran entre los 9 puntos tiene al menos un vértice azul cuando $m$ & $n$ son relativamente primos. A continuación, el valor de $(m+n)$ es?

Esta pregunta vino en los últimos JEE Avanzado (no oficiales) de la prueba y estoy perplejo sobre cómo abordar este problema. La respuesta dada es $460$ .

Soy nuevo en la probabilidad geométrica y permutational conceptos. Por favor, que alguien me ayude a salir en cómo approacch este problema.

Answer 1

(# polígonos convexos)= (# subconjuntos de 9-elemento de un conjunto de tamaño 3 o más) = $512 -(36+9+1) = 466$.

(# rojo polígonos) = (# subconjuntos de los 5 elementos conjunto de tamaño 3 o más) = $10+5+1 = 16$.

Por eso, $ m/n = (466 - 16) / 466 = 450/466 = 225/233 $

Por lo tanto, llego $ m + n = 458 $

No estoy seguro de donde he equivocado :)

Answer 2

Suponiendo que un convexo plolygon tiene al menos tres vértices, el número total de los polígonos convexos es

$$2^9-C_2^9-C_1^9-1=466,$$ donde $C^i_j$ son los coeficientes binomiales.

A partir de los

$$2^5-C_2^5-C^5_1-1=16$$

sólo han rojo los vértices.

Por lo tanto la probabilidad de $m/n$$(466-16)/466=450/466=225/233$$m+n=458$.