Me ayudan a evaluar esta suma infinita

Question

Tengo el siguiente problema:

Para cualquier entero positivo n, vamos a $\langle n \rangle$ denotar el número entero más cercano a $\sqrt n$.

(a) Dado un entero positivo $k$, describir todos los enteros positivos $n$ tal que $\langle n \rangle = k$.

(b) Mostrar que el $$\sum_{n=1}^\infty{\frac{2^{\langle n \rangle}+2^{-\langle n \rangle}}{2^n}}=3$$

Mi progreso: La primera es bastante fácil. Como $$\left( k-\frac{1}{2} \right) < \sqrt n < \left( k+\frac{1}{2} \right) \implies \left( k-\frac{1}{2} \right)^2 < n < \left( k+\frac{1}{2} \right)^2 \implies \left( k^2-k+1 \right) \leq n \leq \left( k^2+k \right)$$ En realidad, no sería $2k$ tales enteros.

Pero, no tengo idea de cómo abordar el segundo problema. Por favor, dame algunas pistas.

Answer 1

Directo de cálculo parece funcionar. Recuerdo a este problema de ser un viejo Putnam problema.

Tenemos $\langle n \rangle = k$, iff $n \in [k^2 - k + 1, k^2 + k]$.

Ahora, vamos a calcular esta suma. $$ \sum_{n = 1}^\infty \frac{2^{\langle n \rangle} + 2^{-\langle n \rangle}}{2^n} = \sum_{k=1}^\infty \sum_{i=k^2 - k + 1}^{k^2 + k} \frac{2^k + 2^{-k}}{2^i} = \sum_{k=1}^\infty \frac{2^{2k}+1}{2^k}\sum_{i=k^2 - k + 1}^{k^2 + k} \frac1{2^i} = \sum_{k=1}^\infty \frac{2^{2k}+1}{2^{k^2+1}}\sum_{i=0}^{2k-1} \frac{1}{2^i} = \sum_{k=1}^\infty \frac{2^{2k}+1}{2^{k^2 + 1}}\frac{1 - \frac{1}{4^k}}{1-\frac{1}{2}} = \sum_{k=1}^\infty \frac{2^{2k}+1}{2^{k^2 + 1}}\frac{2^{2k}-1}{2^{2k-1}} = \sum_{k=1}^\infty \frac{2^{4k}-1}{2^{k^2 + 2k}} = \sum_{k=1}^\infty \left(2^{1-(k-1)^2} - 2^{1-(k+1)^2}\right) = 2^1 + 2^0 = 3$$

Answer 2

La idea es volver a escribir la suma como un doble de la suma por la observación de que $$\langle m^2 + k \rangle = m$$ for $k \in \{-m+1, \ldots, m\}$. Therefore, $$\begin{align*} S &= \sum_{n=1}^\infty \frac{2^{\langle n \rangle} + 2^{-\langle n \rangle}}{2^n} \\ &= \sum_{m=1}^\infty \sum_{k=-m+1}^{m} \frac{2^m + 2^{-m}}{2^{m^2+k}} \\ &= \sum_{m=1}^\infty \frac{2^m + 2^{-m}}{2^{m^2}} \sum_{k=-m+1}^m \frac{1}{2^k} \\ &= \sum_{m=1}^\infty \frac{2^m + 2^{-m}}{2^{m^2}} \left(2^m - 2^{-m}\right) \\ &= \sum_{m=1}^\infty \frac{2^{2m} - 2^{-2m}}{2^{m^2}} \\ &= \sum_{m=1}^\infty 2^{-m(m-2)} - 2^{-m(m+2)} \\ &= \sum_{m=1}^\infty 2^{-m(m-2)} - \sum_{k=3}^\infty 2^{-(k-2)k} \\ &= \sum_{m=1}^2 2^{-m(m-2)} = 2^1 + 2^0 = 3.\end{align*}$$