Para el giro $\frac{1}{2}$ el operador de rotación de espín $R_\alpha(\textbf{n})=\exp(-i\frac{\alpha}{2}\vec{\sigma}\cdot\textbf{n})$ tiene un forma simple :
$$R_\alpha(\textbf{n})=\cos\biggl(\frac{\alpha}{2}\biggr)-i\vec{\sigma}\cdot\textbf{n}\sin\biggl(\frac{\alpha}{2}\biggr)$$
¿Qué pasa con el giro > $\frac{1}{2}$ ?
Lo que uno tiene por el giro 1/2, \begin{equation} \exp(i\alpha \mathbf{J}\cdot\hat{\mathbf{n}}) = \cos(\alpha/2) + i\sin(\alpha/2)\mathbf{J}\cdot\hat{\mathbf{n}}, \end{equation} también para el giro 1 mediante la fórmula de Rodrigues, \begin{equation} \begin{aligned} \exp(i\alpha \mathbf{J}\cdot\hat{\mathbf{n}}) & = 1 + i\hat{\mathbf{n}}\cdot\mathbf{J}\sin\alpha + (\hat{\mathbf{n}}\cdot\mathbf{J})^2(\cos\alpha-1) \\ & = 1 + \left[2i\hat{\mathbf{n}}\cdot\mathbf{J}\sin(\alpha/2)\right]\cos(\alpha/2) + \frac{1}{2}\left[2i\hat{\mathbf{n}}\cdot\mathbf{J}\sin(\alpha/2)\right]^2, \end{aligned} \end{equation} es una representación de giro de los operadores de rotación como polinomios de orden finito de los generadores de rotación para $j=1/2,1$ donde los coeficientes son senos y cosenos de la mitad del ángulo de rotación. Se sabía que esto podía extenderse para representaciones de espín superiores, pero la expresión polinómica exacta para cualquier espín $j$ se desconoce. Afortunadamente, en 2014 esta expresión general fue encontrada por Curtright, Fairlie & Zachos. Dejo aquí su publicación: http://arxiv.org/abs/1402.3541
Lo mismo, excepto que el $\sigma_k$ no son ahora matrices de Pauli sino los generadores de una representación su(2) del espín deseado. Por ejemplo, las $3\times 3$ matrices $$ \sigma_\ell:=(2\epsilon_{jk\ell})_{j,k=1:3}$$ definen la representación de espín 1 en 3 vectores. [La fórmula explícita correspondiente proviene de la fórmula de Rodrigues $$e^{X(a)}=1+\frac{\sin|a|}{|a|}X(a)+\frac{1-\cos|a|}{|a|}X(a)^2,$$ donde $X(a)$ es la matriz que mapea un vector $b$ a $X(a)b=a \times b$ .
Para los giros superiores, la fórmula correspondiente dependerá de cómo se escriba la representación. Numéricamente, sólo habría que diagonalizar la matriz en el exponente; entonces, calcular la exponencial es trivial. No sé si para el espín general hay alguna ventaja en tener una fórmula explícita.
Bueno, la forma exponencial es la misma, pero la exponencial no se calculará con la misma fórmula fácil, utilizando sólo una $\cos$ y una $\sin$ del medio ángulo. Esto se justifica por $-i\frac\alpha2\vec\sigma\cdot\bf n$ que tiene sólo dos valores propios imaginarios puros de signo opuesto. Los generadores en las representaciones de mayor dimensión tendrán un número mayor de valores propios, por ejemplo, un $0$ en el caso que has utilizado como ejemplo.
¡Por supuesto que estoy preguntando sobre la fórmula análoga para la expansión de la exponencial en términos de cosenos y senos no sobre la matriz de espín !
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Estoy seguro de que la forma general de la exponencial sería demasiado complicada. La primera observación es que el espectro de $-i\alpha\vec\sigma\cdot\bf n$ en un sistema con espín $s$ es $(-i\alpha(-s),-i\alpha(-s+1),\ldots,-i\alpha(s-1),-i\alpha s)$ y, por tanto, funciones goniométricas de argumentos $\frac12\alpha$ a través de $s\alpha$ para giros medio enteros, o $0$ (es decir, un término constante) a través de $s\alpha$ para giros enteros estaría presente.
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Por ejemplo, en el caso $s = 1$ con la representación que sugirió @Arnold Neumaier, ver es.wikipedia.org/wiki/ . Puede identificar los términos que implican $\cos\theta$ , $\sin\theta$ y constantes en los elementos de la matriz. El resultado se vuelve aún más complejo para espines más altos.
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La razón por la que la exponencial tiene una forma tan simple en el caso $s=\frac12$ es que $\frac\alpha2$ es la única frecuencia permitida por el análisis que publiqué anteriormente. Aquí ayuda que las potencias de $\vec\sigma\cdot\bf n$ son siempre la identidad o la matriz original. En dimensiones superiores, el conjunto $\{S_x^k\}^n$ trazos a $2s+1$ -espacio dimensional de forma no periódica. Consideremos $S_z = \mathord{\rm diag}(-s,-s+1,\ldots,s-1,s)$ .