¿Cuál es el operador de rotación de espín para espín > 1/2?

Question

Para el giro $\frac{1}{2}$ el operador de rotación de espín $R_\alpha(\textbf{n})=\exp(-i\frac{\alpha}{2}\vec{\sigma}\cdot\textbf{n})$ tiene un forma simple :

$$R_\alpha(\textbf{n})=\cos\biggl(\frac{\alpha}{2}\biggr)-i\vec{\sigma}\cdot\textbf{n}\sin\biggl(\frac{\alpha}{2}\biggr)$$

¿Qué pasa con el giro > $\frac{1}{2}$ ?

Answer 1

Lo que uno tiene por el giro 1/2, $$\begin{equation} \exp(i\alpha \mathbf{J}\cdot\hat{\mathbf{n}}) = \cos(\alpha/2) + i\sin(\alpha/2)\mathbf{J}\cdot\hat{\mathbf{n}}, \end{equation}$$ también para el giro 1 mediante la fórmula de Rodrigues, $$\begin{equation} \begin{aligned} \exp(i\alpha \mathbf{J}\cdot\hat{\mathbf{n}}) & = 1 + i\hat{\mathbf{n}}\cdot\mathbf{J}\sin\alpha + (\hat{\mathbf{n}}\cdot\mathbf{J})^2(\cos\alpha-1) \\ & = 1 + \left[2i\hat{\mathbf{n}}\cdot\mathbf{J}\sin(\alpha/2)\right]\cos(\alpha/2) + \frac{1}{2}\left[2i\hat{\mathbf{n}}\cdot\mathbf{J}\sin(\alpha/2)\right]^2, \end{aligned} \end{equation}$$ es una representación de giro de los operadores de rotación como polinomios de orden finito de los generadores de rotación para $j=1/2,1$ donde los coeficientes son senos y cosenos de la mitad del ángulo de rotación. Se sabía que esto podía extenderse para representaciones de espín superiores, pero la expresión polinómica exacta para cualquier espín $j$ se desconoce. Afortunadamente, en 2014 esta expresión general fue encontrada por Curtright, Fairlie & Zachos. Dejo aquí su publicación: http://arxiv.org/abs/1402.3541

Answer 2

Lo mismo, excepto que el $\sigma_k$ no son ahora matrices de Pauli sino los generadores de una representación su(2) del espín deseado. Por ejemplo, las $3\times 3$ matrices $$\sigma_\ell:=(2\epsilon_{jk\ell})_{j,k=1:3}$$ definen la representación de espín 1 en 3 vectores. [La fórmula explícita correspondiente proviene de la fórmula de Rodrigues $$e^{X(a)}=1+\frac{\sin|a|}{|a|}X(a)+\frac{1-\cos|a|}{|a|}X(a)^2,$$ donde $X(a)$ es la matriz que mapea un vector $b$ a $X(a)b=a \times b$ .

Para los giros superiores, la fórmula correspondiente dependerá de cómo se escriba la representación. Numéricamente, sólo habría que diagonalizar la matriz en el exponente; entonces, calcular la exponencial es trivial. No sé si para el espín general hay alguna ventaja en tener una fórmula explícita.