Relación entre los coeficientes de una matriz y sus autovalores

Question

Deje $A \in \mathbb{R}^{nxn}$ ser una matriz y $\rho(A)$, su mayor autovalor (o mayor módulo de autovalores). Deje $a_{ij}$ ser una entrada típica de la matriz $A$ a $i$-ésima fila y $j$-ésima columna tal que $a_{ij} \in \{0,1\}$$a_{ii} \equiv 0$. Si la siguiente condición se cumple para algunas constantes $\alpha > 0$ $$ \alpha \rho(A) < 1 $$ can we deduce that $$\alpha a_{ij} < 1 $$ for all $i$ and $j$ in $\{1, \ldots n \}$ ?

Por ejemplo llamar a la siguiente matriz a, \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{pmatrix}

tiene los autovalores $-0.6180$$1.6180$$-1.0000$. Desde $\rho(A)= 1.618$ parece ser cierto para este caso especial. ¿Puede alguien ver un obvio ejemplo contrario?

Sabemos de Gershgorin círculo teorema que cada eigen valor de la matriz cuadrada $A$ se encuentra en al menos uno de Gershgorin del disco de la $D(a_{ii} , R_i)$ donde $D(a_{ii} , R_i)$ es un disco está cerrado, centrado en $a_{ii}$ radio $R_i = \sum_{ j \neq i } |a_{ij} |$. Así que tenemos una estimación del rango de los valores propios, pero directamente no responde a mi pregunta.

Answer 1

Pregunta: Vamos a $A=(a_{i,j})\in\{0,1\}^{n\times n}$, encontramos a $I\subset [0,\infty)$ tal que $$\alpha \in I\qquad \iff \qquad \begin{cases}\alpha\ \rho(A)<1 \\ \alpha\ a_{i,j}<1 & \forall i,j=1,\ldots,n\end{cases}$$

Respuesta:
- Si $\rho(A)>0$, $I=\big[0,\min\{1,\rho(A)^{-1}\}\big).$
- Si $\rho(A)=0$$A\neq 0$, $I= [0,1)$
- Si $A=0$,$I =[0,\infty)$.

Tenga en cuenta que si $\rho(A)> 0$ $$ \alpha \ \rho(A)< 1 \quad\iff\quad \alpha < \rho(A)^{-1} \qquad \text{and}\qquad \alpha \ a_{i,j}<1\quad \forall i,j\quad \iff\quad \alpha <1.$$ Donde hemos utilizado que $\rho(A)>0$ implica $A\neq 0$ y por lo tanto no es $i,j$ tal que $a_{i,j}=1$.
Si $\rho(A)=0$$A\neq 0$, luego $$ 0=\alpha \ \rho(A)< 1 \qquad \text{and}\qquad \alpha \ a_{i,j}<1\quad \forall i,j\quad \iff\quad \alpha <1$$ Si $A=0$, entonces el resultado es obvio.