¿Existe una $\nabla^3 f(x)$ ?

Question

En cálculo multivariable hemos visto hasta ahora el gradiente y la hessiana,

Así que es natural preguntarse si $\nabla^3 f(x)$ existe

¿Alguien puede decirme qué viene después de la arpillera?

Answer 1

Consideremos un ( $k$ veces) función diferenciable $f: \Bbb R^n \to \Bbb R$ . La derivada de esta función $Df(\mathbf x)$ también se denomina gradiente y viene dado por $$Df(\mathbf x) = \pmatrix{\partial_1 f(\mathbf x) & \cdots & \partial_n f(\mathbf x)}$$

Se trata de un $n\times 1$ matriz de filas. Sin embargo, una vez fijado el vector $\mathbf x\in \Bbb R^n$ , $Df(\mathbf x)$ también puede considerarse una función de $\Bbb R^n\to \Bbb R$ . En particular, es la función lineal $$Df(\mathbf x)(\mathbf h) = \pmatrix{\partial_1 f(\mathbf x) & \cdots & \partial_n f(\mathbf x)}\pmatrix{h_1 \\ \vdots \\ h_n} = \sum_{i=1}^n h_i\partial_i f(\mathbf x)$$

¿Qué pasa con el segundo ¿derivado? Pues si $Df(\mathbf x)$ es una función de $\Bbb R^n\to \Bbb R$ entonces podríamos simplemente llamar a esta función $g$ y tomar su derivada. Sabemos que una vez fijado un vector $\mathbf y$ la derivada de $g$ viene dada por $Dg(\mathbf y)(\mathbf h) = \sum_{i=1}^n h_i\partial_i g(\mathbf y)$ . Luego volver a enchufar $Df(\mathbf x) = g$ obtenemos $$Dg(\mathbf y)(\mathbf h) = D^2f(\mathbf x)(\mathbf y)(\mathbf h) = \sum_{i=1}^n h_i\partial_i\sum_{j=1}^n y_j\partial_j f(\mathbf x) \stackrel{(*)}= \sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n h_iy_j\partial_i\partial_j f(\mathbf x)$$

donde $(*)$ es posible porque $\mathbf y$ fue fijo . En notación matricial, observe que se trata simplemente de $$D^2 f(\mathbf x)(\mathbf y)(\mathbf h) = \pmatrix{h_1 & \cdots & h_n}\pmatrix{\partial_1\partial_1 f(\mathbf x) & \cdots & \partial_1\partial_n f(\mathbf x) \\ \partial_2\partial_1 f(\mathbf x) & \cdots & \partial_2\partial_n f(\mathbf x) \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ \partial_n\partial_1 f(\mathbf x) & \cdots & \partial_n\partial_n f(\mathbf x)}\pmatrix{y_1 \\ y_2 \\ \vdots \\ y_n} = \mathbf h^T[Hf(\mathbf x)]\mathbf y$$ donde $Hf(\mathbf x)$ es el Matriz hessiana de $f$ en $\mathbf x$ .

Utilizando la notación sumatoria hay una forma clara de continuar hasta la tercera (e incluso la $k$ ª) derivada. Por ejemplo, podemos ver que $$D^3f(\mathbf x)(\mathbf y)(\mathbf z)(\mathbf h) = \sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n\sum_{k=1}^n h_iz_jy_k\partial_i\partial_j \partial_kf(\mathbf x)$$ Sin embargo no hay forma de representar esta suma utilizando matrices. Lo que necesitaríamos es una forma de obtener un escalar (o equivalentemente un $1\times 1$ matriz) a partir de matrices de tres columnas y algún otro tipo de matriz, pero no hay ninguna forma de hacerlo que produzca el resultado correcto. Lo que necesitas es el concepto de tensor . Pero esto no suele tratarse en los cursos de cálculo multivariable, por lo que es poco probable que veas la $k$ derivada de una función de $\Bbb R^n\to \Bbb R$ .

Sin embargo, lo que deberías poder hacer ahora es evaluar la tercera derivada de a (al menos $3$ veces diferenciable) función $f:\Bbb R^n \to \Bbb R$ en la ordenada $4$ -pareja de puntos $(\mathbf x, \mathbf y, \mathbf z, \mathbf h)$ .

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Una pequeña exposición sobre los tensores

A $k$ -es una función multilineal de $k$ copias de un espacio vectorial a escalares. Así, $T: \underbrace{V\times V \times \cdots \times V}_{k\text{ times}} \to \Bbb R$ donde $V$ es un espacio vectorial, es un $k$ -tensor. (Una pequeña nota: esta no es la definición completa de un tensor, pero funcionará para lo que estamos haciendo).

De ello se desprende que $Df(\mathbf x)$ definido por $[Df(\mathbf x)](\mathbf h) = \nabla f(\mathbf x)\cdot \mathbf h$ es un $1$ -tensor y $D^2f(\mathbf x)$ definido por $[D^2f(\mathbf x)](\mathbf h_1,\mathbf h_2) = {\mathbf h_2}^T[Hf(\mathbf x)]\mathbf h_1$ es un $2$ -tensor. Obsérvese que las expresiones matriciales dejan claro que $Df(\mathbf x)$ es una función lineal de $\Bbb R^n\to \Bbb R$ y $D^2f(\mathbf x)$ es un bi función lineal de $\Bbb R^n\times\Bbb R^n\to \Bbb R$ .

Entonces sabemos que la tercera derivada $D^3f(\mathbf x)$ debe definirse mediante $$[D^3f(\mathbf x)](\mathbf h_1, \mathbf h_2, \mathbf h_3) = \sum_{i,j,k} (\mathbf h_3)_i(\mathbf h_2)_j(\mathbf h_1)_k\partial_i\partial_j\partial_k f(\mathbf x)$$

Usando esto y continuando de la manera obvia, podemos ver que el $k$ polinomio de Taylor de orden a $k$ -veces función diferencial $f:\Bbb R^n\to \Bbb R$ en el punto $\mathbf x+\mathbf h$ viene dada por $$P_k(\mathbf x + \mathbf h) = f(\mathbf x) + [Df(\mathbf x)](\mathbf h) + \frac{1}{2!}[D^2f(\mathbf x)](\mathbf h,\mathbf h) + \cdots + \frac{1}{k!}[D^kf(\mathbf x)](\underbrace{\mathbf h,\cdots, \mathbf h}_{k \text{ arguments}})$$ donde $D^nf(\mathbf x)$ con $n\in\{1,2,\dots, k\}$ se define como arriba.

Compárese con la versión escalar del teorema de Taylor: Sea $f:\Bbb R\to \Bbb R$ ser un $k$ -veces función diferenciable. Entonces la $k$ polinomio de Taylor de $f$ en $x+h$ viene dada por $$P_k(x+h) = f(x) + f'(x)h + \frac1{2!}f''(x)h^2 + \cdots + \frac{1}{k!}f^{(k)}(x)h^k$$