Constrution de un determinado espacio topológico

Question

Deje $n \in \mathbb N$ ser un fijo número natural.

No siempre existe un espacio topológico $(X, \tau)$ tal que $\vert \tau \vert=n$ ? Estoy interesado en ambos casos cuando la cardinalidad de a $X$ es finito y la cardinalidad de a $X$ en el infinito?

Es claro que si $n=2^k$, entonces podemos construir fácilmente necesarios espacios topológicos en el que la cardinalidad de a $X$ $k$ y la cardinalidad de a$\tau$$2^k$. También es claro que el anterior hecho es cierto para otros números de $2^k$. Por ejemplo, el Espacio de Sierpinski. Pero soy incapaz de ver a los otros casos?

P. S: La pregunta anterior es motivado por esta cuestión de la Teoría de la Medida sobre la cardinalidad de sigma álgebra.

Answer 1

Deje $X = \{1, 2, \dots, n-1\}$ y dejar,

$$\tau = \{ O_0, O_1, \dots O_{n-1}\}$$

donde, $$O_i = \{ 1, 2, \dots i\}.$$

Aviso de $|\tau| = n$ y que satisface todas las condiciones de una topología,

1. $O_0 = \emptyset$ $O_{n-1} = X$ , lo $\emptyset, X \in \tau$.
2. Si $O_i, O_j \in \tau$$i \leq j$,$O_i \cup O_j = O_j \in \tau$.
3. Si $O_i, O_j \in \tau$$i \leq j$,$O_i \cap O_j = O_i \in \tau$.

EDITAR: Si $X$ es infinito y si $\{1, 2, \dots, n-2\} \subset X$, entonces podemos elegir, $$\tau = \{O_0, O_1, \dots, O_{n-2}, X\}.$$

Answer 2

Supongo que la respuesta es afirmativa para el espacio infinito $X$. Simplemente elija $n-2$ no vacía de subconjuntos de a $\{U_i\}$ $X$ tal que $U_1\subsetneq U_2\subsetneq U_3\subsetneq\cdots\subsetneq U_{n-2}\subsetneq X$, y deje $\mathcal{T}=\{\varnothing, U_1, U_2,\ldots,U_{n-2},X\}$. Aquí es una visualización de $n=5$: