Pero encontraremos una respuesta a ello solamente si abordamos dicho tema.

Question

Si $L$ es una firma, $\mathbb{V}$ una contables conjunto de variables, $\Phi$ $L$a la sentencia, $S$ una estructura con dominio de discurso $\underline{S}$ $\mu:\mathbb{V}\rightarrow \underline{S}$ una asignación de variable, entonces:

$\Phi$ evalúa a "true" para la asignación de $\mu$ fib se devuelve "true" para cada asignación de la variable (esto es fácil de demostrar, ya que la sentencia de $\Phi$ no contiene variables libres). Mi pregunta es, ¿por qué está por encima de la verdad, sólo si $\underline{S}$ no está vacía ?

(Mi conocimiento de la teoría de conjuntos es casi inexistente, así que por favor tenga un fácil seguir la explicación, si se trata de algo ligeramente no-obvia de la teoría)

Answer 1

Al $\underline{S}$ está vacío, entonces no hay ninguna asignación posible. No hay ninguna función de $\mathbb{V}$ para el conjunto vacío. Recordemos que una función que asigna a cada elemento en el rango de un elemento en el dominio. Así que mientras a $\mathbb{V}$ no está vacía, no hay ninguna función de a $\varnothing$.

Así que la proposición que mencionar es vacuously verdadero de $\underline{S} = \varnothing$. Al mismo tiempo, no es una declaración interesante.

Answer 2

Sí, no hay ninguna variable de asignación es posible que una estructura vacía. Sin embargo, es perfectamente posible trabajar con ellos. La rama de la lógica que lo hace es a menudo llamado "libre de la lógica". Aquí "libre" significa "libre de existencial suposiciones". La Stanford Encyclopedia artículo [1] hace una distinción adicional entre "libre" de la lógica, en el que los términos pueden ser indefinidos, y "incluido" o "universal" libre de la lógica, en la que un dominio vacío está permitido. Recomiendo que el artículo como un buen lugar para leer acerca de estas lógicas.

Como hardmath señala, la validities en la libertad de la lógica no son los mismos, como de costumbre de primer orden de la lógica, porque por ejemplo, $(\exists x)(x = x)$ es de estilo clásico válido pero no es válido en libre de la lógica. Hay más complicada ejemplos; por ejemplo, $(\forall y)(\exists x)(x = x)$ que es verdad en un dominio vacío, pero sus instancias de sustitución son todos falsos.

Aquí está el método para la asignación de valores de verdad, sin pasar a través de asignaciones de variables. Dada una estructura de $M$, primero extender el lenguaje mediante la adición de una nueva constante símbolo $c_x$ por cada elemento de a $x$ del dominio de $M$. A continuación, una verdadera oración es verdadera en $M$ si y sólo si algunos de sustitución de ejemplo de lo que es verdadero (donde la variable cuantificada es sustituida por una constante símbolo). Del mismo modo universal enunciado es verdadero si y sólo si cada sustitución instancia es cierto. Incluso en la lógica clásica me parece que este enfoque más elegante que la definición a través de asignaciones de variables, pero los dos enfoques son equivalentes en ese contexto.

1: http://plato.stanford.edu/entries/logic-free/

Answer 3

Si nosotros estamos tratando con una interpretación de primer orden de la teoría en un modelo, queremos que el dominio de discurso que no puede ser vacío. Mientras que un universal de la declaración puede ser interpretado como verdadero en un dominio vacío, no es posible interpretar las declaraciones de $\exists x (x = x)$ como cierto que, a pesar de la provability de tales declaraciones en el predicado de cálculo con la igualdad.

El uso de "vacío" modelos de Gödel demostró su teorema de completitud, que las declaraciones comprobable en el predicado de cálculo son sólo aquellos que se cumplen en cada interpretación. Si uno permite que un modelo vacío, el teorema de completitud haría falta, ya que la negación de la $\exists x (x = x)$ $\forall x (x \ne x)$ y que (como un universal de la declaración) sería "true" si se interpreta en un modelo vacío.

Answer 4

A pesar de tener poca comprensión en la teoría de conjuntos, permítanme presentarles a algunos de notación:

• $\langle a,b\rangle$ es un par ordenado cuyos elementos son de $a$$b$. El par ordenado es establecer que el orden y la recurrencia de la materia (donde como $\{a,a,b,a\}$ $\{a,b\}$ son el mismo conjunto). Eso significa que $\langle a,b\rangle\neq\langle b,a\rangle$ si $a\neq b$.
• Un conjunto $R$ de manera tal que cada elemento de a $R$ es un par ordenado se llama una relación. (Tenga en cuenta que esta definición es el conjunto vacío es una relación vacuously).
• Una relación $R$ tal que para cada a $a$ si $\langle a,b\rangle$ es un miembro de $R$, e $\langle a,c\rangle$ es un miembro de $R$ $b=c$ (es decir, si $a$ aparece en la parte izquierda de coordenadas, a continuación, aparece exactamente una vez) se llama a una función. (Nota, de nuevo, que el conjunto vacío satisface esta condición).
• Si $R$ es una relación, a continuación, su dominio es el conjunto de todas "las coordenadas izquierdas", es decir, el conjunto de todos los $a$ tal que existe una $b$ $\langle a,b\rangle$ es un miembro de $R$.
• Si $R$ es una relación con el rango de $R$ es la colección de todas las "coordenadas derecha", que es todo lo $b$ tal que para algunos $a$ el par ordenado $\langle a,b\rangle$ es un miembro de $R$.

Algunos ejemplos:

1. $\langle 1,3\rangle$ es el par ordenado cuya izquierda de coordenadas es $1$ y a la derecha de coordenadas es $3$.
2. $R=\{\langle 1,2\rangle,\langle 1,4\rangle\}$ es una relación. En este caso se suele decir que el $1R2$ o $R(1,2)$ (como bien $R(1,4)$ en este caso). Tenga en cuenta que $R$ es no una función como $1$ aparece en más de un par ordenado en la izquierda de coordenadas.
3. $F=\{\langle 1,0\rangle, \langle 2,1\rangle, \langle 3,2\rangle\}$ es una relación, y es de hecho una función. En este caso se dice que el$F(1)=0, F(2)=1$$F(3)=2$.

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Una asignación de variable $\mu\colon\mathbb V\to\underline S$ es una función cuyo dominio es $\mathbb V$ y su rango es un subconjunto de a $S$.

Eso significa que $\mu$ es una colección de pares ordenados de la forma$\langle x,s\rangle$, mientras que $x\in\mathbb V$; $s\in\underline S$; y cada una de las $x\in\mathbb V$ aparece en exactamente un par ordenado de $\mu$.

En particular, no puede haber un par ordenado de la forma $\langle x,s\rangle$ donde $s\in\emptyset$, ya que el conjunto vacío es... bueno, vacía.

Esto significa que para una asignación de variables a ser relevante en todos tenemos que tener el universo de discurso no-vacío.