¿Son todos los valores de la función de φ para los números compuestos entre dos primos consecutivos más pequeños que los valores de φ de los números primos?

Question

He visto el gráfico de $\varphi(n)$vs $n$ en Wolfram, y parece que los valores de #% de #% % para primos siguen una pendiente constante, pero existe una prueba que indica que los valores de φ entre dos primos consecutivos siempre son más pequeños que los valores de φ de los dos números primos?

EDIT: me dieron una respuesta satisfactoria para el caso donde hay una desigualdad estricta. Pero, ¿cuál es la condición para una desigualdad relajada? Hay una prueba que establece $\varphi(n)$ < = $\varphi(n)$ y $\varphi(p_n)$ < = $\varphi(n)$

Answer 1

Supongamos que Oppermann la conjetura es verdadera y por cada prime $p_n$ y el próximo primer $p_{n+1}$,$$p_{n+1}<p_n+\sqrt{p_n}$$ EDIT: Esta desigualdad ha contraejemplo en pequeños números primos. La lista de conocidos contraejemplo $p_n$s $(3,7,13,23,31,113)$ (ver A124129)

Ahora tenga en cuenta que cada número $k$ tal que $p_n<k<p_{n+1}$ es compuesto, entonces tiene al menos un factor primo $q$ tal que $q^2\le k$. Ahora llegamos$$\varphi(k)=k\prod_{p|k}\left(1-\frac{1}{p}\right)\le k\left(1-\frac{1}{\sqrt{k}}\right)=k-\sqrt{k}<p_{n+1}-\sqrt{p_n}<p_n$$ y es probado.

EDIT: se puede verificar o encontrar contraejemplos de la desigualdad de forma manual para las pequeñas $k$s por encima de contraejemplos.

Si Oppermann la conjetura no es cierto, y además, existe un primer $q$ e integer $n$ tal que $p_n<q^2-q<q^2<p_{n+1}$,$$\varphi(q^2)=q^2-q>p_n$$de modo que su conjetura ha contraejemplo.