¿Cómo puede ser que $(P \rightarrow Q) \vee (Q \rightarrow P)$ es una tautología?

Question

Considero $(P \rightarrow Q) \vee (Q \rightarrow P)$$(\neg P \vee Q) \vee (\neg Q \vee P)$$\neg P \vee Q \vee \neg Q \vee P$, que es una tautología.

Me parece extraño que, dados dos fórmulas arbitrarias, necesariamente lo uno implica lo otro o viceversa. (Estoy pensando por ejemplo en este caso: P significa 'Ann ama a los animales' y Q 'ana es una estudiante')

Donde está mi error? Quizás en la interpretación de $P$$Q$?

Cualquier aclaración será muy apreciada.

Answer 1

El trampolín es recordar que una verdadera declaración implícita de cualquier declaración, y que una declaración falsa implica cada una de las declaraciones. (Este es un resultado del hecho de que $A\to B\equiv\neg A\vee B.$ La otra es que una verdadera declaración no implica una declaración falsa.) Por lo tanto, si P es verdadera y P es falsa, entonces su compuesto afirmación es verdadera.

Aclarar que la última frase, vamos a considerar su ejemplo en particular las declaraciones, a la luz de las posibilidades. ¿Ann amar a los animales? Si es así, entonces $Q\to P$ tiene; si no, $P\to Q$ mantiene. Independientemente, uno de los dos implicaciones es cierto, y lo $(P\to Q)\vee(Q\to P)$ es necesariamente cierto.

Answer 2

La proposición $(P \rightarrow Q) \vee (Q \rightarrow P)$ siempre es cierto. Esto no significa que cualquiera de las $P \rightarrow Q$ es siempre verdadera o $Q \rightarrow P$ siempre es cierto. ¿No es eso lo que dijo?

Answer 3

Recuerde que la definición de la implicación.

$P \rightarrow Q$ $\lnot P \lor Q$ En palabras, o $P$ es falso o $Q$ es cierto.

$Q\rightarrow P$ $\lnot Q \lor P$ En palabras, o $Q$ es falso o $P$ es cierto.

Poniendo todo esto junto nos da $$(P\rightarrow Q) \lor (Q\rightarrow P) \equiv \lnot P \lor Q \lor \lnot Q \lor P \equiv P\lor \lnot P \lor Q \lor \lnot Q$$

El de arriba no puede lógicamente ser falsa. Cualquiera de las $P$ es verdadero o $\lnot P $ es cierto, no podemos hablar también ha $Q \lor \lnot Q$. Puede verificar la tautología mediante el uso de una tabla de verdad.

Recordar que el material de implicación no nos dice nada acerca de la relevancia de $P$ con respecto al $Q$, ni a la de $Q$ con respecto al $P$. Que es, el material de implicación no necesariamente significa cualquier relación causal entre una proposición y otra.

Esto es lo que puede parecer contra-intuitivo, porque en el lenguaje natural, pensamos en un evento que implica otro evento como causal, o de lo contrario, se basa en algunos relevantes de la relación entre una declaración y otra. En la lógica, no se nos tome $P\rightarrow Q$ decir nada más que "o $P$ es falso, o $Q$ es verdadero".

Answer 4

A veces, la implicación lógica no es tan intuitivo.

Para su $P$ $Q$ tenemos las siguientes:

Ya sea Ann le encanta los animales, o no. Si lo hace, a continuación, $Q\to P$ es cierto.

Si no lo hace, a continuación, $P\to Q$ es cierto.

De cualquier manera uno de los componentes en la disyunción es verdadera.

Answer 5

En tu ejemplo, significa que la declaración de

Si Ann ama a los animales, a continuación, ana es una estudiante

O la declaración de

Si Ann es un estudiante, entonces Ann ama a los animales.

(o ambos) es correcta.

Si Ann es, de hecho, un estudiante, entonces el primer enunciado es verdadero si ella ama a los animales o no. Si ana, no es un estudiante, entonces cualquier declaración que empieza con "Si ana es una estudiante" es la correcta, así que , en conclusión:

• Si ana es una estudiante, instrucción 1 es correcta. Declaración 2 puede o puede no ser la correcta (es correcto si Ann ama los animales y la incorrecta si ella no), pero eso es irrelevante.
• Si Ann no es un estudiante, luego de la declaración de las 2 es correcta. Declaración 1 puede o puede no ser la correcta (es correcto iff Ann no aman a los animales), pero de nuevo, eso es irrelevante.