Si un holomorphic paquete es sin problemas triviales, es holomorphically trivial?

Question

Deje $E\rightarrow X$ ser un holomorphic vector paquete que se encuentra sin problemas triviales (es decir, $E$ tiene un suave marco global). Podemos decir que el $E$ es holomorphically trivial?

Si sí, entonces, ¿qué acerca de la siguiente generalización? Si $E_{1}$ $E_{2}$ son dos holomorphic vector de paquetes a través de una compleja colector $X$ que son sin problemas isomorfos, entonces son holomorphically isomorfo.

Si no, entonces, ¿existe un fácil contraejemplo?

Answer 1

Deje $X$ ser un paracompact espacio topológico. Complejo de la línea de paquetes en $X$ son completamente determinado hasta el isomorfismo por su primera clase de Chern. Más precisamente, si $\operatorname{Vect}_1^{\mathbb{C}}(X)$ denota la colección de clases de isomorfismo de los complejos de la línea de paquetes en $X$, $c_1 : \operatorname{Vect}_1^{\mathbb{C}}(X) \to H^2(X, \mathbb{Z})$ es un isomorfismo. En particular, un complejo paquete de $L$ es trivial si y sólo si $c_1(L) = 0$. Si $X$ es un compacto liso colector, clases de isomorfismo topológico de línea del complejo paquetes coinciden con clases de isomorfismo de la suave línea del complejo paquetes.

Ahora vamos a $X$ ser un complejo colector. La colección de clases de isomorfismo de holomorphic línea de paquetes en $X$ tiene una estructura de grupo dada por el producto tensor (la inversa es doble). Este grupo se llama el grupo de Picard y que se denominan $\operatorname{Pic}(X)$. Una transición de las funciones de argumento muestra que el $\operatorname{Pic}(X) \cong H^1(X, \mathcal{O}^*)$. Asociado a ningún tipo de complejos, colector, tenemos una breve secuencia exacta de las poleas

$$0 \to \mathbb{Z} \xrightarrow{\times 2\pi i} \mathcal{O} \xrightarrow{\exp}\mathcal{O}^* \to 0$$

llama la exponencial de la secuencia. El largo de la secuencia exacta en cohomology da

$$\dots \to H^1(X, \mathcal{O}) \to H^1(X, \mathcal{O}^*) \to H^2(X, \mathbb{Z}) \to H^2(X, \mathcal{O}) \to \dots$$

El mapa de $H^1(X, \mathcal{O}^*) \to H^2(X, \mathbb{Z})$ es la composición de la isomorfismo $H^1(X, \mathcal{O}^*) \to \operatorname{Pic}(X)$ con la primera clase de Chern. Como $H^k(X, \mathcal{O}) \cong H^{0,k}_{\bar{\partial}}(X)$, vemos que

• si $h^{0,1} = 0$, el mapa de $H^1(X, \mathcal{O}^*) \to H^2(X, \mathbb{Z})$ es inyectiva, y
• si $h^{0,2} = 0$, el mapa de $H^1(X, \mathcal{O}^*) \to H^2(X, \mathbb{Z})$ es surjective.

En particular, si $h^{0, 1} > 0$, el núcleo del mapa $H^1(X, \mathcal{O}^*) \to H^2(X, \mathbb{Z})$ no es trivial. Es decir, hay un no-trivial de holomorphic línea bundle $L$$c_1(L) = 0$, por lo que por el primer párrafo, que es un trivial complejo de la línea de paquete, y por lo tanto un trivial suave rango de dos bundle.

El ejemplo más simple de un complejo colector de con $h^{0,1} > 0$ es un género de una superficie de Riemann que ha $h^{0,1} = 1$. Una explícita no trivial holomorphic línea de paquete es $\mathcal{O}(x_0 - x_1)$ $x_0, x_1$ distintos puntos de la superficie. Tiene primera clase de Chern cero, por lo que es fácilmente trivial, pero no es holomorphically trivial ya que no tiene ningún global de holomorphic secciones aparte de la sección cero: un no-cero apartado se han asociado a un divisor $x_0 - x_1$, pero esto es imposible como divisores asociados a holomorphic secciones son siempre eficaces.

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Mediante la investigación de la larga secuencia exacta más detenidamente, podemos ver cómo muchos holomorphic línea de paquetes de tener la primera clase de Chern de cero y, por lo tanto sin problemas triviales; se denota la colección de clases de isomorfismo de dicha línea de paquetes por $\operatorname{Pic}_0(X)$.

$$\dots \to H^0(X, \mathcal{O}) \to H^0(X, \mathcal{O}^*) \to H^1(X, \mathbb{Z}) \to H^1(X, \mathcal{O}) \to H^1(X, \mathcal{O}^*) \to H^2(X, \mathbb{Z}) \to \dots$$

Tenga en cuenta que $H^0(X, \mathcal{O}) \cong \Gamma(X, \mathcal{O}) = \mathcal{O}(X)$ es la colección de holomorphic funciones en $X$, e $H^0(X, \mathcal{O}^*) \cong \Gamma(X, \mathcal{O}^*)$ es de la colección de la nada-cero holomorphic funciones en $X$. Si $X$ es compacto, la única holomorphic funciones son constantes funciones, así $H^0(X, \mathcal{O}) \cong \mathbb{C}$, $H^0(X, \mathcal{O}^*) \cong \mathbb{C}^*$ y el mapa de $H^0(X, \mathcal{O}) \to H^0(X, \mathcal{O}^*)$ no es nada, pero el mapa exponencial $\mathbb{C} \to \mathbb{C}^*$. Como este es surjective, $H^0(X, \mathcal{O}^*) \to H^1(X, \mathbb{Z})$ es el cero mapa, y por lo tanto, $H^1(X, \mathbb{Z}) \to H^1(X, \mathcal{O})$ es inyectiva.

Por la exactitud, el núcleo de $H^1(X, \mathcal{O}^*) \to H^2(X, \mathbb{Z})$ es precisamente la imagen de $H^1(X, \mathcal{O}) \to H^1(X, \mathcal{O}^*)$ que es isomorfo al cociente de $H^1(X, \mathcal{O})$ por el kernel. De nuevo por la exactitud, el núcleo de este mapa es igual a la imagen del mapa de $H^1(X, \mathbb{Z}) \to H^1(X, \mathcal{O})$ que es isomorfo a $H^1(X, \mathbb{Z})$ ya que el mapa es inyectiva. Por lo tanto, si $X$ es compacto,

$$\operatorname{Pic}_0(X) \cong \frac{H^1(X, \mathcal{O})}{H^1(X, \mathbb{Z})}$$

que es un complejo toro de dimensión $h^{0,1}$.