Subgrupo de un grupo de la unidad de

Question

Deje $\alpha$ ser una raíz de $x^{3}-6x-3$, vamos a $K=\mathbb{Q}(\alpha)$ y dejar $u_{1}=\frac{\alpha^{3}}{3}=2\alpha+1$, $u_{2}=\alpha+2$.

Demostrar que $u_{1}$ $u_{2}$ generar un subgrupo de $\mathbb{Z}_{K}^{\times}$ de la fila $2$.

Desde $K\subset\mathbb{R}$ es una extensión de grado $3$ tenemos que $\mathbb{Z}_{K}^{\times}\cong\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}^{2}$.

Answer 1

Debemos comenzar por señalar que el grado no es suficiente para concluir que el rango es $2$ si $r=s=1$, entonces el rango es $1+1-1=1$. Sin embargo, podemos decir que las tres raíces son reales a partir de algunos conceptos básicos de cálculo, así que vamos a pasar ese detalle.

Para mostrar el indicado unidades de generar un subgrupo de clasificación $2$ utilizamos el logaritmo mapa de la prueba de Dirichlet de la Unidad y Teorema de mostrar que el registro de los dos vectores son linealmente independientes. Recordar la incrustación está dada por

$$L(u) = (\log |u|_{\infty_1},\ldots, \log|u|_{\infty_{r+s-1}})$$

En tu caso, tienes $L(u_1)$ $L(u_2)$ y desde el infinito lugares son sólo las incrustaciones en $\Bbb R$ sólo se pueden escribir como estas

$$L(u) = (\log |\sigma_1(u)|, \ldots , \log|\sigma_{r+s-1}(u)|)$$

para el surtido de incrustaciones en $\Bbb R$. Mediante el cálculo se calculan las tres raíces del polinomio mínimo de a $\alpha$ trata de -2.1451, -0.52398, y 2.6691. Conectar para $u_1$ $u_2$ tenemos

$$\begin{cases} L(u_1)\approx (1.19095, -3.03739, 1.84659) \\ L(u_2) \approx (-1.93033, 0.389349, 1.54097) \end{casos}$$

Tenga en cuenta que estos no pueden ser linealmente dependientes, ya que esto significaría que son múltiplos uno del otro, sin embargo es evidente que tendríamos que multiplicar por un número negativo para hacer que las dos primeras coordenadas partido, pero positivo para el tercero. Por lo que son linealmente independientes de los registros, lo que los hace multiplicatively independiente de las unidades. De hecho, esta es la forma habitual que uno hace los cálculos en la práctica es a través del mapa, $L:\mathcal{O}_K^\times\to \Bbb R^{r+s}$, y la comprobación de la independencia lineal de allí.

Esta es en realidad la esencia de ambos Dirichlet de la Unidad de Teorema y el logaritmo de mapa de $\log: \Bbb R^+\to\Bbb R$ desde $\log(x^ay^b) = a\log x +b\log y$ podemos ver que multiplicativo de dependencia $x^ay^b=1\iff a\log x+b\log y=0$. Dirichlet utilizado $L$ a mostrar que el rango del grupo de la unidad fue máxima en el seguimiento de cero en el subespacio, pero la idea va más allá y se extiende a general el cálculo de los rangos de las unidades. Si usted tiene objetivos ambiciosos para calcular cosas como esta, en general, tendría que seguir un camino similar.