¿Por qué es el más pequeño de la terna Pitagórica $(x,y,z)=(3,4,5)$ no cerrar (en relación $x/y$) a cualquier otro triple pequeña?

Question

La tabla siguiente muestra las ternas Pitagóricas primitivas $x^2+y^2=z^2$$z<100$, en orden ascendente de la relación $x/y$. La última columna muestra la diferencia entre cada relación y la anterior relación en la lista.

Se puede observar que las diferencias en la proporción de (resaltado en rojo) antes y después de la más pequeña triple (3,4,5) son mucho más grandes que cualquier otro en la lista. Las diferencias (en verde) antes y después de la siguiente menor triple (5,12,13) también son relativamente grandes.

Pregunta: ¿por Qué no hay otros pequeños ternas Pitagóricas primitivas cerca (en términos de la relación) (3,4,5)? O es sólo una coincidencia?

Dada la fórmula general para el ternas Pitagóricas $(m^2-n^2,2mn,m^2+n^2)$, la pregunta parece cantidad a mostrar que la relación:

$$R=\frac{m^2-n^2}{2mn}$$

no puede estar cerca de cualquiera de las $3/4$ o $4/3$ si $m^2+n^2$ es bastante grande. Pero no puedo ver cómo proceder, aparte de un caso-por-caso de estudio que sería equivalente a un listado de triples.

Answer 1

Tenga en cuenta que $\frac{3}{4}=\frac{r^2-1}{2r}$ tiene una solución $r=2$. Vamos ahora a $r:=2+d$ para un número racional $d$, por lo que el $$\delta:=\frac{r^2-1}{2r}-\frac{3}{4}=\frac{3+4d+d^2}{4+2d}-\frac{3}{4}=\frac{d(5+2d)}{4(2+d)}\,.$$ Si desea $|\delta|\leq\frac{1}{20}$, luego $$-0.07935<d<0.08062\,.$$ Every nonzero rational number $d$ within that range has denominator at least $13$. If $d=\frac{p}{q}$ with $q\geq 13$, then $$z\geq \frac{p^2+4pq+5q^2}{2}>\frac{q(q+4p)}{2}+2q^2> 2q^2 \geq 2\cdot 13^2=338>100\,,$$ como $|d|<\frac{1}{4}$ (decisiones $q+4p>0$). El más pequeño $z$ que satisface $|\delta|<\frac{1}{20}$$z=397$, es decir, para $(x,y,z)=(228,325,397)$ donde $$\frac{3}{4}-\frac{x}{y}\approx 0.75- 0.701538 \lesssim 0.048462<\frac{1}{20}\,.$$

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De hecho, para cualquier número racional $u$ $\epsilon>0$ existe $r\in\mathbb{Q}$ tal que $$0<\left|\frac{r^2-1}{2r}-u\right|<\epsilon\,.$$ Tome $u:=\dfrac{3}{4}$$\epsilon=\dfrac{1}{50000}$, $r=\dfrac{100001}{50000}$ es una solución. A continuación, vamos a $x,y\in\mathbb{N}$ ser tal que $\dfrac{x}{y}=\dfrac{r^2-1}{2r}$, y obtendrá un triplete de Pitágoras $$(x,y,z)=\left(7500200001,10000100000,12500200001\right)\,,$$ with $$\frac{x}{y}=\frac{7500200001}{10000100000}\approx 0.750012$$ so that $$0<\left|\frac{x}{y}-u\right|<\epsilon\,.$$