Probando el binomio identidad $\sum_{j=0}^k {n \choose j}\cdot {m \choose k-j}={n+m \choose k}$ al $n,m$ son números enteros negativos

Question

Lo que más me interesa es el de la identidad: $$\displaystyle \sum_{j=0}^k {j+r-1 \choose j}\cdot {k-j +s-1 \choose k-j}={k+r+s-1 \choose k}$$

Surge en la prueba de la fórmula de la convolución de dos binomial negativo de las Variables Aleatorias, por ejemplo.

Lo que sé es la identidad:$\displaystyle { j+r-1 \choose j} = {-r \choose j} (-1)^j $

Por lo tanto lo que necesito es mostrar $$ \displaystyle \sum_{j=0}^k {-r \choose j} \cdot {-s \choose k-j}={-r-s \choose k} $$ aka the binomial convolution formula for $m = -r, n = -s$ when $s$ and $r$ son positivos intergers.

¿Cómo puedo hacer eso?

Answer 1

Por ejemplo, puede utilizar la inducción en $n$ mostrar que si $p_{n}(x)$ es el polinomio: $$p_{0}(x)=1$$ $$p_{n}(x)=(x)_n=x(x-1)\cdots(x-n+1),\ \text{for each}\ n\geq 1$$

entonces

$$p_{n}(x+y)=\sum_{k=0}^{n}{n\choose k}p_{k}(x)p_{n-k}(y)$$

Su identidad es equivalente a la de arriba.

Recordar que si $n\in\mathbb{N}$ $x$ es una variable que se puede escribir:

$${x\choose n}=\frac{(x)_{n}}{n!}$$

La caída factorial es una familia de polinomios de tipo binomial como la fmailies $f_{n}(x)=x^n$, $g_{n}(x)=x(x+1)\cdots(x+n-1)$, Abel polinomios, Touchard polinomios.

Answer 2

Aquí hay una respuesta basada en la generación de funciones. Es conveniente utilizar el coeficiente de operador $[z^n]$ para denotar el coeficiente de $z^n$ en una serie. De esta manera podemos escribir por ejemplo \begin{align*} [z^k](1+z)^n=\binom{n}{k} \end{align*}

Obtenemos \begin{align*} \color{blue}{\sum_{j=0}^k}&\color{blue}{\binom{j+r-1}{j}\binom{k-j+s-1}{k-j}}\\ &=\sum_{=0}^k\binom{-r}{j}(-1)^j\binom{-s}{k-j}(-1)^{k-j}\\ &=(-1)^k\sum_{j=0}^\infty[z^j](1+z)^{-r}[u^{k-j}](1+u)^{-s}\tag{1}\\ &=(-1)^k[u^k](1+u)^{-s}\sum_{j=0}^\infty u^j[z^j](1+z)^{-r}\tag{2}\\ &=(-1)^k[u^k](1+u)^{-s}(1+u)^{-r}\tag{3}\\ &=(-1)^k[u^k](1+u)^{-r-s}\\ &=(-1)^k\binom{-r-s}{k}\\ &\color{blue}{=\binom{k+r+s-1}{k}} \end{align*} y el Chu-Vandermonde identidad de la siguiente manera.

Comentario:

• En (1) se aplica el coeficiente de operador dos veces y establecer el límite superior de la serie a $\infty$ sin cambiar nada, ya que estamos añadiendo ceros sólo.

• En (2) utilizamos la linealidad del coeficiente de operador y aplicar la regla de $[z^{p}]z^qA(z)=[z^{p-q}]A(z)$.

• En (3) se aplica la norma de sustitución del coeficiente de operador con $u=z$
  \begin{align*} A(u)=\sum_{j=0}^\infty a_j u^j=\sum_{j=0}^\infty u^j [z^j]A(z) \end{align*}