La reescritura de la LCMs como GCDs es un buen primer paso. Hemos acabado por la eliminación de estos MCD restricciones. Definir $k_0 = \gcd(a,b,c)$. Entonces podemos escribir $a=k_0a'$, $b=k_0b'$, y $c=k_0c'$ para los números enteros $a'$, $b'$, y $c'$. La sustitución y cancelación de los factores de $k_0$ nos da
$$ a'b'c'=k_0\gcd(a',b')\gcd(b',c')\gcd(c',a'). $$
Ahora vamos a $k_1=\gcd(a',b')$, $k_2=\gcd(b',c')$ y $k_3=\gcd(c',a')$. Podemos escribir $a'=a''k_1k_3$, $b'=b''k_1k_2$ y $c'=c''k_2k_3$, ya que el $\gcd(a',b',c')=1$. (Tenga en cuenta que $a''$, $b''$, y $c''$ son números enteros.) La sustitución y cancelación de nuevo, tenemos
$$ k_1k_2k_3a''b''c''=k_0, $$
donde $a''$, $b''$, y $c''$ son parejas coprime. Suponer sin pérdida de generalidad que $a''\le b''\le c''$.
Caso 1: $a''\neq 1$
Entonces tenemos $a''\ge 2$, $b''\ge 3$, y $c''\ge 5$. Además, nuestra respuesta es monótonamente creciente en cada una de las $k_i$. Así obtenemos nuestra solución mínima, cuando proponemos $a''=2$, $b''=3$, $c''=5$, y todas las $k_i=1$:
$$ a+b+c = k_0(k_1k_3a'' + k_1k_2b'' + k_2k_3c'') = 300. $$
Caso 2:$a''=1$.
Entonces $b''\ge 2$, $c''\ge 3$. Debido a que ninguno de $a,b,c$ dividir cada una de las otras, $k_1,k_3\ge 2$. Conectar estas desigualdades, tenemos:
$$ a + b + c\ge 336. $$
Así, el primer caso da $300$ como nuestra respuesta.
