obligado en la derivada covariante de segunda fundemantal formulario

Question

Estoy tratando de leer el papel (Schoen-Simon-Yau '74) y no puede resolver uno de los límites que se usan en la derivada de la segunda forma fundamental.

En detalle: Vamos a $M$ un mínimo hipersuperficie incrustado en un $n$+1 dimensiones de Riemann colector $N$. Sigue $$h_{ijk} = \nabla_k h_{ij} = -\frac 12 \, K_{n+1,ijk},$$ where $h_{ij}$ is the second fundamental form of $M$, $\nabla$ is the induced connection on $M$ and $K$ is the Riemann tensor on $N$. Let the sectional curvatures of $N$ be bounded between $K_1$ and $K_2$.

En el papel, antes de eq. (1.28) introducen la desigualdad $$|K_{n+1,iji}| \leq \frac 12 (K_1 - K_2). \qquad (*)$$

¿Cómo puedo ver este resultado?

Traté de usar que $\sum_i h_{ii} = 0$, $\sum_i h_{iik} = 0$, y $(*)$, pero que conducen a ninguna parte.

Tal vez alguien tiene una sugerencia? Yo estaría muy agradecido!

Answer 1

Parece que por un factor de $2$.

Deje $j\neq i$ (o la desigualdad es trivial), escribir $$e = \frac{1}{\sqrt 2} (e_{n+1} + e_j).$$ Nota: $e$ es un vector unitario y es ortogonal a $e_i$. Entonces

\begin{align*} 2K_{n+1, iji} &= 2K(e_{n+1}, e_i, e_j, e_i) \\ &= K(e_{n+1}+e_j, e_i, e_{n+1} + e_j, e_i) - K(e_{n+1}, e_i, e_{n+1}, e_i) - K(e_j, e_i, e_j, e_i) \\ &= 2K(e, e_i, e, e_i) - K(e_{n+1}, e_i, e_{n+1}, e_i) - K(e_j, e_i, e_j, e_i) \\ &\le 2K_1 - 2K_2. \end{align*}

A partir de (1.24) en el papel, parece que asumen $K_2 \le K_{ijij} \le K_1$. Desde la desigualdad depende únicamente de la $N$, pero no en el mínimo submanifolds $M$, no creo que la ecuación de $h$ helpes. Por otro lado, la constante $2$ no es importante en sus cálculos. Se puede absorber en el $\epsilon$ por ejemplo.