Determinante de la perturbación de rango uno de una matriz diagonal

Question

Dejemos que $A$ sea una perturbación de rango uno de una matriz diagonal, es decir $A = D + s^T s$ , donde $D = \DeclareMathOperator{diag}{diag} \diag\{\lambda_1,\ldots,\lambda_n\}$ , $s = [s_1,\ldots,s_n] \neq 0$ . ¿Hay alguna manera de calcular fácilmente su determinante?

Por un lado, $s^Ts$ tiene rango uno por lo que sólo tiene un valor propio no nulo que es igual a su traza $|s|^2 = s_1^2+\cdots+s_n^2$ . Por otro lado, si $D$ era un operador escalar (es decir, todos los $\lambda_i$ eran iguales) entonces todos los valores propios de $A$ serían desplazamientos de los valores propios de $s^T s$ por $\lambda$ . Así, un valor propio sería igual a $\lambda+|s|^2$ y los demás a $\lambda$ . Por lo tanto, en este caso obtendríamos $\det A = \lambda^{n-1} (\lambda+|s|^2)$ . Pero, ¿es posible generalizar estas consideraciones al caso de las diagonales no escalares $D$ ?

Answer 1

No se necesitan las entradas diagonales de $D$ sea positivo. Dado que $\det(I+AB)=\det(I+BA)$ tenemos $\det(I+xy^T)=1+y^Tx$ (lo que no es difícil de demostrar directamente). Si $D$ es invertible, entonces $$ \det(D+ss^T) = \det(D(I+D^{-1}ss^T)) = \det(D) \det(I+D^{-1}ss^T) = (1+s^TD^{-1}s) \det(D). $$ Esto da $$ \det(D+ss^T) = \det(D) \left(1+\sum_r \frac{s_r^2}{d_r}\right) $$ Si dos entradas diagonales de $D$ son cero, entonces $\det(D+ss^T)=0$ . Si sólo uno es cero, $D_{n,n}$ decir, entonces $$ \det(D+ss^T) = s_n^2\prod_{r=1}^{n-1} D_{r,r}. $$ Si se define $\delta_r=\det(D)/D_{r,r}$ tenemos $$ \det(D+ss^T) = \sum_r \delta_r s_r^2, $$ que es más limpio y se mantiene en todos los casos.

Answer 2

Como se ha desarrollado en los comentarios, para las entradas diagonales positivas:

$$\det(D + s^Ts) = \prod\limits_{i=1}^n \lambda_i + \sum_{i=1}^n s_i^2 \prod\limits_{j\neq i} \lambda_j $$

Su aplicación general puede deducirse por extensión del cono positivo de $\mathbb{R}^n$ por continuación analítica . Alternativamente, podemos avanzar un argumento ligeramente modificado para todas las entradas diagonales no nulas. El determinante es un polinomio en el $\lambda_i$ por lo que la demostración de la fórmula de los valores no nulos $\lambda_i$ 's nos permite probarlo para todos $D$ mediante un breve argumento de continuidad.

Primero asuma todo $\lambda_i \neq 0$ y definir el vector $v$ por $v_i = s_i/\lambda_i$ . Similar a las observaciones del OP:

$$ \det(D+s^Ts) = \det(I+s^Tv)\det(D) = (1 + \sum\limits_{i=1}^n s_i^2/\lambda_i) \prod\limits_{i=1}^n \lambda_i $$

donde $\det(I+s^Tv)$ es el producto de $(1 + \mu_i)$ sobre todos los valores propios $\mu_i$ de $s^Tv$ . Como el OP señaló, a lo sumo uno de estos valores propios es distinto de cero, por lo que el producto es igual a $1$ más el rastro de $s^T v$ es decir, el valor propio potencialmente no nulo, y esa traza es la suma de las entradas $s_i^2/\lambda_i$ .

Distribuir el producto de la $\lambda_i$ sobre esa suma da el resultado de arriba. Si algunos de los $\lambda_i$ son cero, la fórmula puede justificarse tomando una secuencia de perturbaciones no nulas $\lambda_i$ cuyo límite es el requerido $n$ -tupla. Por continuidad del polinomio la fórmula se mantiene para todas las diagonales $D$ .

Answer 3

Encontrar los valores propios (o vectores propios) de $D + s s^T$ donde $s$ es un vector columna fue estudiado previamente. Evaluando el polinomio característico en $0$ da el determinante hasta el signo.

Las referencias dentro del artículo de Wikipedia para el Fórmula Bunch-Nielsen-Sorensen fueron bastante útiles. Doy los más útiles aquí para completar:

Golub, G. H. (1973). "Some Modified Matrix Eigenvalue Problems". SIAM Review. sección 5: enlace al documento