Búsqueda de $ \csc \theta $ $ \cot \theta $

Question

Tengo el siguiente problema:

Si $ \cot{C} = \frac{\sqrt{3}}{7} $, encontramos a $ \csc{C} $

Desde mi identidades trigonométricas, sé que $ \cot{\theta} = \frac{1}{\tan{\theta}} $, e $ \csc{\theta} = \frac{1}{\sin{\theta}} $, y también se $ \cot{\theta} = \frac{\cos{\theta}}{\sin{\theta}} $

Sin embargo, me parece que no puede ver cómo conectar los puntos para llegar desde la cotangente a la cosecante. Me imagino que podría ser capaz de utilizar las últimas identidad si puedo hacer de alguna manera $ \cos{C} = 1 $, pero no veo cómo hacerlo.

Esta es la tarea, así que por favor me proporcione algunos punteros en lugar de soluciones completas.

Gracias.

Answer 1

De $\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$, dividir a través de por $\sin^2\theta$ para obtener una relación entre el$\cot^2\theta$$\csc^2\theta$.

P. S. La información dada no es suficiente, aunque, para determinar el valor de $\csc\theta$ menos que le sucede a saber qué cuadrante está trabajando en; usted sabe que usted está en el cuadrante I o III, ya que la cotangente es positivo; pero que no se diga si la cosecante es positivo o negativo; tendrá dos posibles respuestas. Esto es casi la misma situación como la forma, si usted sabe que $\sin\theta=\frac{1}{2}$, esto sólo determina $\cos\theta$ a firmar.

Answer 2

Aquí está una manera simple, a menudo pienso sobre ello. Supongamos que tenemos un triángulo rectángulo en el primer cuadrante. Desde $\cot C=\frac{\sqrt{3}}{7}$, usted sabe que la proporción de la pierna adyacentes a $C$ a la pierna opuesta de $C$$\frac{\sqrt{3}}{7}$. Así que vamos a decir de la pierna opuesta tiene una longitud de $7$ y el adyacente de la pierna tiene una longitud de $\sqrt{3}$. Entonces por el teorema de Pitágoras, la hipotenusa tiene una longitud de $\sqrt{52}=2\sqrt{13}$.

Ahora $\csc C$ es sólo la relación de la hipotenusa a la pierna opuesta, esencialmente, a la inversa de $\sin$, que es la relación de la pierna opuesta a la hipotenusa.

Answer 3

En mi respuesta aquídescribo algunas ideas generales de cómo utilizar una función trigonométrica de un ángulo para determinar otra función trigonométrica de un mismo ángulo. La idea básica es la de dibujar el triángulo(s) en un sistema de coordenadas que corresponden a la función trigonométrica y las usan para calcular la otra función trigonométrica.