Problema de conexión de la Topología y Álgebra a través del Análisis

Question

Deje $C(X):=$ Conjunto de todos los complejos/real con valores de funciones continuas. Si $X$ es compacto, entonces todos los máximos ideales en el anillo de $C(X)$ es de la forma $M_{x}=\{f\in C(X): f(x)=0\}$ algunos $x\in X$.

Es cierto que: Si todos los máximos ideales en el anillo de $C(X)$ es de la forma $M_{x}=\{f\in C(X): f(x)=0\}$ algunos $x\in X$ $X$ es compacto.

Answer 1

Esto resulta ser cierto para cualquier completamente regular el espacio $X$:

Deje $X$ ser completamente regular tiene la propiedad de que cada ideal maximal en $C(X)$ es de la forma $M_x$. Para mostrar que $X$ es compacto, vamos a $\mathcal C$ ser una familia de conjuntos cerrados tener la intersección finita de la propiedad. Tenemos que demostrar que el $\bigcap_{C\in \mathcal C} C$ es no vacío.

Deje $I \subset C(X)$ el conjunto de funciones continuas tales que $f^{-1}(0) \supset C$ algunos $C\in \mathcal C$. Entonces por completo la regularidad** - hemos

$$\bigcap_{f\in I} f^{-1}(0) = \bigcap_{C\in \mathcal C} C$$

y $I$ es un ideal en el $C(X)$ como es fácil comprobar. Pero, a continuación, $I$ está contenida en algunos máxima ideal $J$, lo que por supuesto es de la forma $M_x$ algunos $x\in X$. Así que debemos tener $$x \in \bigcap_{f\in I} f^{-1}(0) = \bigcap_{C\in \mathcal C} C$$ and in particular $\bigcap_{C\in \mathcal C} C \ne \emptyset$.

Agregar.: ** Si $X$ es completamente regular, $C\subset X$ es cerrado y $x\notin C$, entonces existe una función continua $f$ con $f(x) = 1$, $f(C) \subset \{0\}$. Esto implica que $x\notin \bigcap_{f: f^{-1}(0) \supset C} f^{-1}(0)$ en este caso. Por lo tanto $X\setminus C$ no se cruzan $\bigcap_{f: f^{-1}(0) \supset C} f^{-1}(0)$, y debemos tener

$$C = \bigcap_{f: f^{-1}(0) \supset C} f^{-1}(0)$$

Ahora tome la intersección sobre todas las $C \in \mathcal C$.

Answer 2

No. Por ejemplo, tome $X$ $\mathbb{N} \setminus \{ 0 \}$ equipada con la relativamente primer entero de la topología. A continuación, cada real continua con valores de la función en $X$ es constante, por lo que su condición es extremadamente satisfecho, sino $X$ no es compacto.