Integración de la fracción parcial

Question

Quiero encontrar todas las antiderivaties de

$\frac{x}{x^3-1}$

Puesto que el denominador es de menor grado que el numerador, fracción parcial debe ser utilizado en lugar de la división larga.

He empezado haciendo:

$\frac{x}{x^3-1} = \frac{A}{x^2+x+1} + \frac{B}{x-1}$

Por lo tanto,

$x = A(x-1)+B(x^2+x+1)$

Luego ajuste $x = 1$ a $3B = 1 => B = \frac{1}{3}$

Así que tengo $\int({\frac{A}{x^2+x+1}}+{\frac{1}{3(x-1)}})$

Sin embargo, no sé cómo continuar desde aquí.

Answer 1

Como la mayoría de las técnicas de integración, el ideal de fracciones parciales es reducir un difícil integral a las integrales que son, si no fácil, al menos factible. Los tres tipos de integrales que aparecen cuando se hace fracciones parciales son:

1. $\displaystyle \int\frac{1}{(ax+b)^n}\,dx$ , $a,b$ constantes, $a\neq 0$, e $n\geq 1$.

2. $\displaystyle \int\frac{x}{(ax^2+bx+c)^n}\,dx$, con $n\geq 1$, $ax^2+bx+c$ irreductible cuadrática.

3. $\displaystyle \int\frac{1}{(ax^2+bx+c)^n}\,dx$ con $n\geq 1$, $ax^2+bx+c$ irreductible cuadrática.

El primer tipo es fácil de resolver: ¿una substitución $u=ax+b$ e ir a él.

El segundo tipo es un poco más complicado. Haciendo una sustitución de $u=ax^2+bx+c$, obtenemos \begin{align*} \int\frac{x}{(ax^2+bx+c)^n}\,dx &= \frac{1}{2a}\int \frac{2ax\,dx}{(ax^2+bx+c)^n}\\ &= \frac{1}{2a}\left(\int\frac{2ax+b}{(ax^2+bx+c)^n}\,dx - \int\frac{b}{(ax^2+bx+c)^n}\,dx\right)\\ &= \frac{1}{2a}\int\frac{du}{u^n} - \frac{b}{2a}\int\frac{dx}{(ax^2+bx+c)^n}. \end{align*} La primera integral se puede hacer; la segunda se reduce a la tercera tipos mencionados anteriormente.

Y así llegamos al tercer tipo. Al $n=1$, la cosa más simple de hacer es completar el cuadrado; factorizando $a$ podemos asumir que tenemos $x^2+Bx+C$. Completando el cuadrado, consigue $(x+\frac{B}{2})^2 + (C - \frac{B^2}{4})$. Porque estamos suponiendo que el original cuadrática es irreductible, que significa que $B^2 - 4C\lt 0$, por lo que el $C-\frac{B^2}{4}\gt 0$. Sustituyendo $u=X+\frac{B}{2}$ se convierte esto en una fracción de la forma $\frac{1}{u^2+r^2}$; factor $r^2$, hacer otra sustitución, y puede convertirse en una fracción de la forma $\frac{1}{w^2+1}$. Pero $\int\frac{dw}{w^2+1}$ es fácil integral: tiene una inmediata antiderivada.

Así, modulo un montón de álgebra y algunos de sustitución, usted puede solucionar $\int\frac{1}{ax^2+bx+c}\,dx$ $ax^2+bx+c$ irreductible cuadrática: completar el cuadrado, hacer algunas substituttions, y convertirlo en $\int\frac{1}{w^2+1}\,dx$.

Lo que si ha $\int\frac{dx}{(ax^2+bx+c)^n}$ con $n\gt 1$, $ax^2+bx+c$ irreductible cuadrática? Aquellos que son más complicados, pero no demasiado malo; usted todavía puede completar el cuadrado y hacer un poco de álgebra, por lo que lo traiga a la forma $$\int \frac{du}{(u^2+r^2)^n}$$ para algunos positivos $r$. A continuación, se puede utilizar la fórmula de reducción (que se obtiene al hacer la integración por partes): $$\int\frac{du}{(u^2+r^2)^n} = \frac{1}{2r^2(n-1)}\left(\frac{u}{(u^2+r^2)^{n-1}} + (2n-3)\int\frac{du}{(u^2+r^2)^{n-1}}\right)$$ y continuando de esta manera usted eventualmente terminará en la integral con denominador $u^2+r^2$, que sabemos cómo hacer.