¿Hay alguna manera de saber si una ecuación cuártica tiene raíces dobles o triples?
$$x^4 + a x^3 + b x^2 + c x + d = 0$$
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
runeh
Puntos
1304
La cuártica $x^4 + a x^3 + b x^2 + c x + d = 0$ tiene raíces múltiples si se tiene una raíz común con $4x^3 + 3a x^2 + 2b x +c = 0$.
Cualquier factor común puede ser determinada utilizando el algoritmo de Euclides. El "peor caso" es que hay dos raíces y el factor común es una ecuación cuadrática - pero eso es fácil de factor. Una raíz triple dará una ecuación cuadrática factor común, pero reconocible como tener dos raíces iguales.
Este no es un criterio simple en términos de los coeficientes, pero es una forma práctica de informática de varias raíces, cuando existen, y si la factorización no es obvia.
La pregunta es etiquetado pre-cálculo - la manera más fácil de demostrar que esto funciona es con algo simple cálculo (la segunda ecuación se obtiene diferenciando la primera). Pero el criterio puede ser aplicado sin cálculo, y es válida en muchas situaciones donde los límites no tienen sentido - y esto motiva a generalizaciones y extensiones de la noción de derivada en álgebra.
Para responder a tu pregunta: sí.
Como Neil se menciona en los comentarios, un cuarto grado puede tener entre 0 y 4 diferentes raíces. Aparte de los obvios forma de comprobar el número de raíces por el hecho que la resolución de la ecuación, también se aplica lo siguiente, como se muestra en J. M. del enlace a este artículo mensual:
Para una ecuación del tipo $x^4+qx^2+rx+s=0$
Si estás buscando una forma rápida, fácil de memorizar, me temo que esto no va a ser de mucha ayuda, después de todo. Además, observe que la ausencia de una $x^3$plazo.
freespace
Puntos
9024
Tal vez no he entendido la pregunta, pero creo que esto podría ser útil para usted.
Deje $f(x)\in F[x]$ ser un polinomio y $f'(x)$ ser la formal derivado de $f(x)$ donde $F$ es cualquier campo.
A continuación, $f(x)$ tiene múltiples raíces si y sólo si $\gcd(f(x),f'(x))\ne 1$.
Si $F$ es un campo de característica cero, entonces usted sabe más: Si denotar $g(x)=\gcd(f(x),f'(x))$ y se dividen $f(x)$$g(x)$, es decir, encontrar el polinomio $h(x)$ tal que $f(x)=g(x)\cdot h(x)$, entonces los polinomios $f(x)$ $h(x)$ tienen las mismas raíces, pero la multiplicidad de cada raíz de $h(x)$ es uno.
Usted está preguntando acerca de la polinomio sobre $\mathbb C$; para este campo los resultados anteriores son verdaderas. Por otra parte, $\mathbb C$ es algebraicamente cerrado, por lo tanto cada cuarto grado polinomio tiene 4 raíces en $\mathbb C$, si contamos con multiplicidades.
Así que, en su caso, usted puede calcular el $g(x)=\gcd(f(x),f'(x))$, por ejemplo usando el algoritmo de Euclides. Si $g(x)=1$, todas las (complejo) las raíces de $f(x)$ tiene multiplicidad uno. Si $g(x)=f'(x)$ $f(x)$ tiene sólo una raíz de multiplicidad 4. En los dos casos restantes hay una raíz de multiplicidad 2 o 3.
(Sin embargo, si usted está interesado sólo en la multiplicidad de las raíces reales, la situación es un poco más complicado.)
